n 阶行列式的性质
若按照行列式的定义去计算一个n阶行列式，一般要计算n！项的代数和，而每一项都是n个元素的乘积，显然是非常麻烦的，为了简化n阶行列式的计算，本节将学习行列式的一些基本性质，利用这些性质可以使行列式的计算大大简化.
将n阶行列式D的行依次变为列，得到的新行列式DT，称为D的转置行列式.
性质1 行列式与它的转置行列式相等，即D=DT.
如上述行列式中通过计算有D=11，DT=11.
对于性质1的证明可用数学归纳法予以证明，此处从略，但这个性质说明了行列式中行、列的地位的对称性，凡是行列式对行成立的性质对列也成立.
性质2 交换行列式的两行（或两列），其值仅改变符号.
解 仔细观察D中第1行与第4行的元素发现，它们是完全相同的，因此将这两行交换仍为D，又根据性质2交换两行后为-D，因此有D=-D，即有D=0，由此我们有如下结论.
推论 若行列式有两行（列）的对应元素相同，则这个行列式为零.
性质3 n阶行列式等于任意一行（列）所有元素与其相应的代数余子式的乘积之和.
性质3说明了行列式可按任一行（列）展开，据此我们在计算时尽量选择零元素最多的这一行（列）展开，计算就简单多了.
例3 计算行列式
.
解 由性质3可按第1列展开
又由于第2行的零元素多，可按第2行展开
性质4 n阶行列式中任意一行（列）的元素与另一行（列）的相应元素的代数余子式的乘积之和等于零，即当i≠k时，有
性质5 把行列式某一行（列）的所有元素都乘以同一个数k，等于以数k乘这个行列式，即
换句话说，行列式任一行（列）中的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面.
例4 计算行列式
.
解 行列式的第2列有公因子6，第3列有公因子5，根据性质5，可以提到行列式符号前面，有
或从第3行提出公因子-1，
从上述例子看到，行列式中的第2、3行对应元素成比例，其结果为0，由此我们有如下结论：
推论 行列式中如果有两行（列）元素对应成比例，则此行列式为零.
性质6 若行列式中某一行（列）的所有元素都是两数之和，则这个行列式等于两个行列式的和，且这两个行列式除了这一行（列）以外，其余的元素与原来行列式的对应元素相同，即
根据性质2与性质5得D=0.
性质7 将行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一个常数λ后，再加到另一行（列）的对应元素上，则行列式的值不变.即
根据性质6与性质5很容易证明性质7.
例6 计算行列式
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解 根据性质7可将第1行分别乘以-4、-2加到第2、3行，得
.此时，第2行乘以-1加到第3行，可得
.
从例6中可以看出，有了性质7就能把行列式中的元素尽可能多地化为零，这样计算起来就方便多了.
为了使n阶行列式的计算步骤更加清楚，我们用记号“ri×λ”表示将第i行（列）乘以λ；“（ri，rj）”表示将第i行（列）与第j行（列）互换；“rk+ri×λ”表示将第i行（列）乘以λ后加到第k行（列）上，并把对行的变换写在等号上方，对列的变换写在等号下方.