一元线性回归分析

二、一元线性回归分析

一元线性回归分析是指获得一元线性回归方程的方法.

1.数学模型的建立

设变量y与x之间存在统计关系，通过观测得到关于（x，y）的n对独立观测数据

在平面直角坐标系中，描出每对观测数据（xi，yi）（i=1，2，…，n）所对应的点，得到的图称为散点图.若散点图呈直线状，则可以假定变量y与x之间有如下关系：

其中y为随机变量，x为非随机变量，β1称为回归系数.ε为随机变量，称为随机误差，它可以理解为y中无法用x表示的其他各种随机因素造成的误差.我们的问题是要用β0+β1x来估计y的均值E（y），即

且假定εN（0，σ2），y N（β0+β1x，σ2），β0，β1，σ2是与x无关的待定常数.因此，变量（x，y）的n对独立观测数据（xi，yi）（i=1，2，…，n）应满足

其中β0，β1为待估参数，ε1，ε2，…，εn为n个相互独立的且服从同一正态分布N（0，σ2）的随机变量.公式（7.25）称为一元线性回归的数学模型.

2.参数的最小二乘估计

这种以误差平方和达最小为原则的参数估计方法称为最小二乘估计.

例1 考察硫酸铜（CuSO4）在100克水中的溶解量（y）与温度（x）间的关系时，作了9组独立试验，结果如表7-15所示.试寻找隐藏在变量y与x之间的统计关系.

解 以变量（x，y）的9组独立观测数据（xi，yi）（i=1，2，…，9）为点的坐标，在平面直角坐标系中作散点图，如图7-5所示.由图7-5可见，变量y与x之间大致呈线性关系，因此我们设

其中β0和β1为待估参数，ε为随机误差，且设εN（0，σ2）.利用公式（7.31）对参数β0和β1进行估计，计算结果如下

所求回归方程为

至于回归方程（7.34）是否真实地反映了变量y与x之间的统计关系，还需对其进行显著性检验.

3.回归方程的显著性检验

由前面的讨论可知，变量y与x之间存在线性统计关系是依据散点图做出的假设.这只是一种直观判断，并不可靠.一旦变量y与x之间不存在线性统计关系，我们所确定的回归方程将毫无意义.因此，在建立了回归方程后，我们必须对变量y与x之间是否真正存在线性统计关系进行检验，这就是所谓的回归方程显著性检验.

对回归方程（13）进行显著性检验，就是要检验假设

当H0为真时，模型（6）不成立，即y与x之间不存在线性统计关系；当H0不真时，模型（6）成立，即y与x之间存在线性统计关系.

为了检验假设H0，需要建立检验统计量.在建立检验统计量之前，首先对引起数据y1，y2，…，yn波动的主要因素进行分析.归纳起来引起数据y1，y2，…，yn波动的主要因素有两个：

（1）由自变量x取值的不同引起E（y）=β0+β1x的变化，称为回归因素.

（2）其他一切随机因素（包括试验误差）的影响，称为误差因素.

为了检验两方面的影响哪一个是主要的，需要把它们从y的总离差中分解出来，这就是所谓的总离差平方和的分解.

有了检验统计量F，在给定的显著性水平α下，假设H0的拒绝域为

若假设H0被拒绝，则回归方程（7.32）的回归效果是显著的，这说明变量y与x之间存在显著的线性统计关系；否则回归方程（7.32）的回归效果是不显著的，这说明变量y与x之间不存在显著的线性统计关系.

回归平方和U与剩余平方和Q也可采用下述简便公式计算

例2 对例1中的回归方程（7.34）进行显著性检验.

解 假设H0：β1=0.我们有n=9，Lyy=1533.38，且

查表知F0.01（1，7）=12.25.因此，回归方程（7.34）的回归效果是极显著的，即例1中变量y与x之间存在着极显著的线性统计关系.

4.应用回归方程进行预报

当所建立的回归方程通过了显著性检验后，可应用该回归方程进行预报.如在例1中，我们可以应用回归方程（7.34）预报水温为25℃时，硫酸铜的溶解量.因为

所以当水温为25℃时，硫酸铜的溶解量为24.1克.