二元函数的极限
研究函数的极限就是研究函数的变化趋势.二元函数的自变量有两个，其自变量的变化过程比一元函数的自变量的变化过程要复杂得多.
下面考虑当点P（x，y）趋近于点P0（x0，y0）（记为P（x，y）→P0（x0，y0）或x→x0，y→y0）时，函数z=f（x，y）的变化趋势.在平面上，点P（x，y）趋近于定点P0（x0，y0）的方式是多种多样的.不管以哪种方式，只要点P（x，y）趋近于点P0（x0，y0），则点P（x，y）与P0（x0，y0）的距离
趋近于零.因此，可以用ρ→0表示P（x，y）→P0（x0，y0）的变化过程.
仿照一元函数的极限定义，下面给出二元函数的极限定义.
设函数z=f（x，y）在点P0（x0，y0）的某个去心邻域内有定义，如果动点P（x，y）以任何方式趋近于点P0（x0，y0），相应的函数值f（x，y）总趋近于一个确定的常数A，则称A为函数z=f（x，y）当x→x0，y→y0时的极限，记为
也可表示为
注：（1）二元函数的极限定义要求点P（x，y）以任意方式趋近于点P0（x0，y0）时，f（x，y）都趋近于同一个确定的常数A.因此，即使当点P（x，y）沿着许多特殊的方式趋近于点P0（x0，y0）时，函数值f（x，y）都趋近于同一个确定的常数，也不能断定
存在；然而如果当P（x，y）沿某两条不同的曲线趋近于点P0（x0，y0）时，函数值f（x，y）趋近于不同的值，那么可以断定
不存在.
（2）定义中要求函数z=f（x，y）在点P0（x0，y0）的某个去心邻域内都有定义，否则函数在点P0无极限.如函数
在点（0，0）无极限，因为函数在x轴和y轴上无定义，所以不可能在点（0，0）的任何去心邻域内都有定义.
（3）一元函数极限的四则运算法则，可以相应地推广到二元函数.
当P（x，y）→O（0，0）时，极限是否存在.
