二、空间曲线

二、空间曲线

1.空间曲线的一般方程

空间曲线可以看作两个曲面的交线.设F（x，y，z）=0和G（x，y，z）=0是两个曲面方程，它们的交线为　C.因为曲线C上的任何点的坐标应同时满足这两个方程，所以应满足方程组

反过来，如果点M不在曲线C上，那么它不可能同时在两个曲面上，所以它的坐标不满足方程组.

因此，曲线C可以用上述方程组来表示.上述方程组叫作空间曲线C的一般方程.

2.空间曲线在坐标面上的投影

投影柱面：以曲线C为准线、母线平行于z轴的柱面叫作曲线C关于xOy面的投影柱面.

投影曲线：投影柱面与xOy面的交线叫作空间曲线C在xOy面上的投影曲线，或简称投影（类似地可以定义曲线C在其他坐标面上的投影）.

方程组消去变量z后所得的方程为(https://www.daowen.com)

这就是曲线C关于xOy面的投影柱面.

这是因为：一方面，方程H（x，y）=0表示一个母线平行于z轴的柱面；另一方面，方程H（x，y）=0是由方程组消去变量z后所得的方程.因此，当x，y，z满足方程组时，前两个数x，y必定满足方程H（x，y）=0，这就说明曲线C上的所有点都在方程H（x，y）=0所表示的曲面上，即曲线C在方程H（x，y）=0表示的柱面上.所以，方程H（x，y）=0表示的柱面就是曲线C关于xOy面的投影柱面.

曲线C在xOy面上的投影曲线的方程为

这是一个母线平行于z轴的圆柱面，容易看出，这恰好是半球面与锥面的交线C关于xOy面的投影柱面.因此，交线C在xOy面上的投影曲线为

这是xOy面上的一个圆，如图1-47所示.