二、空间曲线
1.空间曲线的一般方程
空间曲线可以看作两个曲面的交线.设F(x,y,z)=0和G(x,y,z)=0是两个曲面方程,它们的交线为 C.因为曲线C上的任何点的坐标应同时满足这两个方程,所以应满足方程组

反过来,如果点M不在曲线C上,那么它不可能同时在两个曲面上,所以它的坐标不满足方程组.
因此,曲线C可以用上述方程组来表示.上述方程组叫作空间曲线C的一般方程.
例6 方程组表示怎样的曲线?
解 方程组中第一个方程表示球心在坐标原点O,半径为R的上半球面.第二个方程表示母线平行于z轴的圆柱面,它的准线是xOy面上的圆,这个圆的圆心在点,半径为
.方程组就表示上述半球面与圆柱面的交线,如图1-46所示.

图1-46
2.空间曲线在坐标面上的投影
投影柱面:以曲线C为准线、母线平行于z轴的柱面叫作曲线C关于xOy面的投影柱面.
投影曲线:投影柱面与xOy面的交线叫作空间曲线C在xOy面上的投影曲线,或简称投影(类似地可以定义曲线C在其他坐标面上的投影).
设空间曲线C的一般方程为
方程组消去变量z后所得的方程为

这就是曲线C关于xOy面的投影柱面.
这是因为:一方面,方程H(x,y)=0表示一个母线平行于z轴的柱面;另一方面,方程H(x,y)=0是由方程组消去变量z后所得的方程.因此,当x,y,z满足方程组时,前两个数x,y必定满足方程H(x,y)=0,这就说明曲线C上的所有点都在方程H(x,y)=0所表示的曲面上,即曲线C在方程H(x,y)=0表示的柱面上.所以,方程H(x,y)=0表示的柱面就是曲线C关于xOy面的投影柱面.
曲线C在xOy面上的投影曲线的方程为

这是一个母线平行于z轴的圆柱面,容易看出,这恰好是半球面与锥面的交线C关于xOy面的投影柱面.因此,交线C在xOy面上的投影曲线为

这是xOy面上的一个圆,如图1-47所示.

图1-47