实验1 数据分析、概率分布和数字特征
一、实验目的
1.掌握概率论中的基本概念；
2.熟练应用MATLAB中提供的命令求解数据分析、概率分布和数字特征.
二、实验原理
1.下面列出了MATLAB提供的部分数据分析的函数.
在给定的一组数据中，要进行各种均值的计算，在MATLAB中可由以下函数实现.
mean 算术平均值函数.对于向量X，mean（X）得到它的元素的算术平均值；对于矩阵，mean（X）得到X各列元素的算术平均值，返回一个行向量.
geo mean求随机变量的几何平均值.
tri mmean求随机变量的调和平均值.
通常还要对它们进行最大、最小、中值的查找或对它们排序等操作.MATLAB中也有这样的功能函数.
max求随机变量的最大值元素.
min求随机变量的最小值元素.
median求随机变量的中值.
mad求随机变量的绝对差分平均值.
sort对随机变量由小到大排序.
sortrows对随机矩阵按首行进行排序.
range求随机变量的值的范围，即最大值与最小值的差（极差）.
求向量或矩阵的元素累和或累积运算是比较常用的两类运算，在MATLAB中可由以下函数实现.
su m若X为向量，su m（X）为X中各元素之和，返回一个数值；若X为矩阵，su m（X）为X中各列元素之和，返回一个行向量.
cu msu m求当前元素与所有前面位置的元素和.返回与X同维的向量或矩阵.
pr od若X为向量，pr od（X）为X中各元素之积，返回一个数值；若X为矩阵，prod（X）为X中各列元素之积，返回一个行向量.
cu mpr od求当前元素与所有前面位置的元素之积.返回与X同维的向量或矩阵.
2.无论是离散分布还是连续分布，在MATLAB中，都用通用函数pdf或专用函数来求概率密度函数值.
离散型随机变量，取值是有限个或可数个，因此，其概率密度函数值就是某个特定值的概率，即利用函数pdf求输入分布的概率.
格式为：Y=pdf（‘name’，k，A）
Y=pdf（‘na me’，k，A，B）
Y=pdf（‘name’，k，A，B，C）
说明：返回以name为分布，在随机变量X=k处，参数为A、B、C的概率密度值；对离散型随机变量X，返回X=k处的概率值，name为分布函数名.
常见的分布有：
na me=bino（二项分布），hyge（超几何分布），geo（几何分布），poiss（Poisson分布）.
此外也有专用概率密度函数，二项分布的概率值命令：binopdf，Poisson分布的概率值命令：poisspdf等.
连续型随机变量：如果存在一非负可积函数p（x）≥0，使对于任意实数a≤b，X在区间（a，b）上取值的概率为：
，则函数p（x）称作随机变量X的概率密度函数.通用函数pdf和专用函数用来求密度函数p（x）在某个点x处的值.
格式：pdf（‘name’，x，A）
pdf（‘name’，x，A，B）
pdf（‘name’，x，A，B，C）
说明：返回以name为分布的随机变量在X=x处、参数为A、B、C的概率密度函数值.na me取值如表10-4所示.
表10-4 常见通用函数密度函数表
连续型随机变量的累积概率函数值是指随机变量X≤x的概率之和.也就是连续型随机变量的分布函数F（x），F（x）既可以用通用函数，也可用专用函数来计算.通常用这些函数计算随机变量落在某个区间上的概率和随机变量X的分布函数F（x）.函数cdf用来计算随机变量X≤x的概率之和.
格式：cdf（‘name’，k，A）
cdf（‘name’，k，A，B）
cdf（‘na me’，k，A，B，C）
说明：返回以name为分布、随机变量X≤k的概率之和（即累积概率值），name为分布函数名.
专用函数计算累积概率值，其命令函数是在上述分布后面加上cdf，其用法同专用函数计算概率密度函数值.如正态分布的累积概率值，命令函数为：nor mcdf（x，mu，sigma）.
3.数字特征.
随机变量的数字特征是概率统计学的重要内容.
离散型随机变量X的期望计算函数：mean.
格式：mean（X）
说明：若X为向量，则mean（X）为X中的各元素的算术平均值，返回一个数值；
若X为矩阵，则mean（X）为X中各列元素的算术平均值，返回一个行向量.
离散型随机变量的方差函数：
var %计算一组采集数据即样本的方差.
格式：var（X）%若X为向量，则返回向量的样本方差；若X为矩阵，则返回矩阵列向量的样本方差构成的行向量.
离散型随机变量的标准差函数：
std%计算一组采集数据即样本的标准差.
格式：std（X）%返回向量（矩阵）X的样本标准差.
协方差是体现X与Y之间相互联系的程度的一个很重要的概念.MATLAB提供了求样本协方差的函数：
cov（X）%X为向量时，返回此向量的方差；X为矩阵时，返回此矩阵的协方差矩阵，此协方差矩阵对角线元素为X矩阵的列向量的方差值.
cov（X，Y）%返回X与Y的协方差，且X与Y同维.
说明：用命令函数cov时，X，Y分别为样本点.
相关系数是体现随机变量X和Y相互联系程度的度量.MATLAB提供了求样本相关系数的函数.
corrcoef（X，Y）%返回列向量X，Y的相关系数.
corrceof（X）%返回矩阵X的列向量的相关系数矩阵.
三、实验内容
例1 某机床出次品的概率为0.01，求生产100件产品中：
（1）恰有1件次品的概率；
（2）至少有1件次品的概率.
解
（1）>>p=pdf（′bino′，1，100，0.01） %利用通用函数计算恰好发生k次的概率.
>>p=binopdf（1，100，0.01）%利用专用函数计算恰好发生k次的概率.
（2）>>p=1-cdf（′bino′，0，100，0.01）%cdf是用来计算X≤k的累积概率值的通用函数，这里是计算X≥1的概率值.
>>p=1-binocdf（0，100，0.01）
例2 某公共汽车站从上午7：00起每15分钟来一班车.若某乘客在7：00到7：30间的任何时刻到达此站是等可能的，试求他候车的时间不到5分钟的概率.
解 设乘客7点过X分钟到达此站，则X在[0，30]内服从均匀分布，当且仅当他在时间间隔（7：10，7：15）或（7：25，7：30）内到达车站时，候车时间不到5分钟.故其概率为
运行结果为：p=1/3
例3 设随机变量X的分布律如表10-5所示.
表10-5 随机变量X的分布律
求EX，E（X2-1）.
解 在MATLAB中输入代码：
运行结果为：EX=0，EY=1.6000
例4 求向量a=[1 2 1 2 2 1]的协方差.
解 >>a=[1 2 1 2 2 1]；
>>cov（a）.
四、练习与思考
1.某市公安局在长度为t的时间间隔内收到的呼叫次数服从参数为t/2的Poisson分布，且与时间间隔的起点无关（时间以小时计）.求：
（1）在某一天中午12时至下午3时没有收到呼叫的概率；
（2）某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼叫的概率.
2.设（X，Y）的联合分布律如表10-6所示.
表10-6 （X，Y）的联合分布律
求X与Y的协方差σXY及相关系数ρXY.