多元函数的最值

求函数的最大值和最小值，是在实践中常常遇到的问题.在有界闭区域上连续的函数，在该区域上一定有最大值或最小值.而取得最大值或最小值的点既可能是区域内部的点也可能是区域边界上的点.现在假设函数在有界闭区域上连续，在该区域内偏导数存在，如果函数在区域内部取得最大值或最小值，则这个最大值或最小值必定是函数的极值.由此可得到求函数最大值和最小值的一般方法：先求出函数在有界闭区域内的所有驻点处的函数值，以及函数在该区域边界上的最大值和最小值，然后比较这些函数值的大小，其中最大者就是最大值，最小者就是最小值.

通常在遇到的实际问题中，根据问题的性质，往往可以判定函数的最大值或最小值一定是在区域内部取得.此时，如果函数在区域内有唯一的驻点，那么就可以断定该驻点处的函数值，就是函数在该区域上的最大值或最小值.

例2 要做一个容积为V的长方体箱子，问箱子各边的尺寸多大时，所用材料最省.