三、克拉默法则

三、克拉默法则

有了n阶行列式的计算，我们就可把第一节解二元、三元方程组的方法加以推广.设含有n个方程、n个未知量x1，x2，x3，…，xn的线性方程组为

定理1 若线性方程组（5.1）的系数行列式不为零，即

则线性方程组（5.1）一定有唯一解且其解为

其中Di（i=1，2，…，n）是把系数行列式D中第i列用常数列b1，b2，…，bn来代替，而其余列不变所得到的n阶行列式，即

证明从略.

值得注意的是，用克拉默法则求解线性方程组必须满足两个条件：

（1）方程组中方程的个数与未知量的个数相等；

（2）方程组的系数行列式不等于零，即D≠0.

否则，不能直接用克拉默法则求解.当满足上述两个条件时，我们就有如下结论：此方程组的解存在且其解由公式（5.2）唯一确定.

从例9的计算过程可知，用克拉默法则解线性方程组时需要计算n+1个n阶行列式，计算量相当大，一般情况下，不采用这种方法，但克拉默法则的理论意义非常重要：

（1）当含有n个方程、n个未知数的线性方程组的系数行列式不等于零时，此方程组有唯一的解，这说明我们只要根据方程组的系数就能分析出它的解的情况，这说明计算系数行列式的重要性；

（2）当线性方程组的系数行列式不等于零时，线性方程组的唯一解可用公式（5.2）表示，这充分体现了线性方程组的解与它的系数、常数项之间的依存关系.