二、高阶偏导数
2025年09月26日
二、高阶偏导数
设函数z=f(x,y)在区域D内的每一点(x,y)都有偏导数

一般来说,f′x(x,y),f′y(x,y)仍是x、y的函数.如果它们的偏导数仍存在,则将其称为函数z=f(x,y)的二阶偏导数.由二元函数z=f(x,y)可得到下列四个二阶偏导数:

其中第二、第三个二阶偏导数称为混合偏导数.第二个二阶偏导数是先对x后对y求偏导数,而第三个二阶偏导数是先对y后对x求偏导数.
同样,以此可以得到三阶、四阶以至n阶偏导数(如果存在的话).二阶或二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.
例5 设z=x3+y3-2x2y,求它的所有二阶偏导数.

该题值得注意的是:两个二阶混合偏导数相等,这个结果并不是偶然的.事实上,我们有下面的定理.
定理 如果函数z=f(x,y)在区域D上的二阶混合偏导数连续,则在该区域上必有

证明从略.
在一般情形下定理的条件是满足的,所以总有.
例6 设f(x,y)=exy+sin(x+y),求.

