空间直线的方程

二、空间直线的方程

1.一般式方程

空间曲线可以看作两个曲面的交线,类似地,空间直线可以看作两个平面的交线.

设平面π1和π2的方程分别为A1x+B1y+C1z+D1=0和A2x+B2y+C2z+D2=0,则它们的交线是一条直线,交线的方程为

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公式(1.12)称为空间直线的一般式方程.

因此,直线L可以用上述方程组来表示,上述方程组叫作空间直线的一般方程.

2.空间直线的对称式方程与参数方程

(1)直线的对称式方程

方向向量:如果一个非零向量平行于一条已知直线,这个向量就叫作这条直线的方向向量.

容易知道,直线上任一向量都平行于该直线的方向向量.

当直线L上一点M0(x0,y0,z0)和它的一方向向量s=(m.n,p)为已知时,直线L的位置就确定了,下面建立空间直线的方程.

设直线L经过点M0(x0,y0,z0),且直线的方向向量为s=(m.n,p),又设M(x,y,z)是直线L上任意一点(图1-20),则

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图1-20

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这就是直线L的方程,叫作直线的对称式方程或点向式方程.

注:当m,n,p中有一个或两个为零时应理解为相应的分子也为零.

如m=0,而n,p≠0时,这个方程组应理解为

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当m,n,p中有两个为零,如m=n=0,而p≠0时,这个方程组应理解为

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(2)直线的参数方程

由直线的对称式方程可以导出直线的参数方程.

img,得方程组

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例9 用对称式方程及参数方程表示直线img

解 先求直线上的一点.取x=1,有

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解此方程组,得y=-2,z=0,即(1,-2,0)是直线上的一点.

再求这条直线的方向向量s.以平面x+y+z=-1和2x-y+3z=4的法线向量的向量积作为直线的方向向量s:

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4.直线与平面的夹角

当直线与平面不垂直时,直线和它在平面上的投影直线的夹角称为直线与平面的夹角,当直线与平面垂直时,规定直线与平面的夹角为img.

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图1-21

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因为直线与平面垂直,相当于直线的方向向量与平面的法线向量平行,所以,直线与平面垂直相当于

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因为直线与平面平行或直线在平面上,相当于直线的方向向量与平面的法线向量垂直,所以,直线与平面平行或直线在平面上相当于

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设直线L的方向向量为(m,n,p),平面π的法线向量为(A,B,C),则

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例11 求过点(1,-2,4)且与平面2x-3y+z-4=0垂直的直线的方程.

解 平面的法向量(2,3,-1)可以作为所求直线的方向向量.由此可得,所求直线的方程为

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例12 求与两平面x-4z-3=0和2x-y-5z-1=0的交线平行且过点(-3,2,5)的直线的方程.

解 平面x-4z-3=0和2x-y-5z-1=0的交线的方向向量就是所求直线的方向向量s,

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所以所求直线的方程为

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