实验2 参数估计和假设检验
一、实验目的
1.掌握参数估计和假设检验的原理；
2.会用MATLAB求解参数估计和假设检验的问题.
二、实验原理
1.通常，一个随机变量的分布可由某些参数决定，但在实际问题中要想知道一个分布的参数的精确值是很困难的，因此，需要对这些参数的取值做出估计.参数估计就是通过随机样本去估计参数的取值以及参数的取值范围.
MATLAB的统计工具箱中采用极大似然法给出了常用概率分布的参数的点估计和区间估计值，如表10-7所示.另外还提供了部分分布的对数似然函数的计算功能.
表10-7 参数似然估计函数表
说明：各函数返回已给数据向量的参数最大似然估计值和置信度为（1-α）×100%的置信区间.α的默认值为0.05，即置信度为95%.
2.在MATLAB中，假设检验问题都提出两种假设：即原假设和备择假设.对于正态总体均值μ的假设检验给出了检验函数：
ztest 已知σ2，检验正态总体均值μ；
ttest未知σ2，检验正态总体均值μ；
ttest2两个正态总体均值比较.
对于一般连续型总体一致性的检验，给出了检验方法——秩和检验，由函数ranksu m实现.
（1）单个正态总体N（μ，σ2）的假设检验（σ2已知，对期望μ的假设检验——U检验法）
格式：H=ztest（X，m，sig ma，alpha）
说明：X——样本 m——期望值μ0
sigma——正态总体标准差al pha——检验水平α（默认为0.05）
H——检验结果，两种情况：（H=0——在水平α下，接受原假设或假设相容；
H=1——在水平α下，拒绝原假设或假设不相容.）
单个正态总体N（μ，σ2）的假设检验（σ2未知，对期望μ的假设检验——t检验法）：
格式：H=ttest（X，m，al pha）
说明：X——样本m——期望值μ0
alpha——检验水平α（默认为0.05）
H——检验结果，两种情况：（H=0——在水平α下，接受原假设或假设相容；
H=1——在水平α下，拒绝原假设或假设不相容.）
（2）两个正态总体均值差的检验（t检验）
格式：[H，sig，ci]=ttest2（X，Y，al pha）
说明：原假设为μX=μY（μX，μY分别表示X，Y的期望），H、al pha的含义与前面相同.
sig——当原假设为真时（即μ=m成立），得到观察值的概率，当sig为小概率时，则对原假设提出质疑.
ci——均值μ的置信度为1-α的置信区间
（3）两个总体一致性的检验——秩和检验
格式：P=ranksu m（X，Y，alpha）
[P，H]=ranksu m（X，Y，al pha）
说明：P——两个总体样本X和Y为一致的显著性概率，若P接近于0，则不一致较明显，可对原假设提出质疑.
X、Y——两个总体的样本，可以不等长
alpha——给定的显著性水平
H——检验结果：H=0——表示X与Y的总体差别不显著
H=1——表示X与Y的总体差别显著
三、实验内容
例1 分别使用金球和铂球测定引力常数.
（1）用金球测定观察值为：6.683 6.681 6.676 6.678 6.679 6.672
（2）用铂球测定观察值为：6.661 6.661 6.667 6.667 6.664
设测定值总体服从N（μ，σ2），μ和σ为未知.对（1）（2）两种情况分别求μ和σ的置信度为0.9的置信区间.
解 在MATLAB命令窗口键入：
例2 某车间用一台包装机包装葡萄糖，包得的袋装糖重是一个随机变量，它服从正态分布.当机器正常时，其均值为0.5 kg，标准差为0.015.某日开工后检验包装机是否正常，随机抽取所包装的糖9袋，称得净重为：（kg）
问机器工作是否正常？
解 （1）分析
总体μ和σ已知，则可设样本的σ=0.015，于是XN（μ，0.0152），问题就化为根据样本值来判断μ=0.5还是μ≠0.5.为此，提出假设
原假设：H0：μ=μ0=0.5
备择假设：H1：μ≠μ0
（2）MATLAB实现
结果H=1，说明在0.05的水平下，可拒绝原假设，即认为这天包装机工作不正常.
例3 在平炉上进行一项试验以确定改变操作的建议是否会增加钢的得率，试验是在同一只平炉上进行的.每炼一炉钢时除操作方法外，其他条件都尽可能做到相同.先用标准方法炼一炉，然后用建议的新方法炼一炉，以后交替进行，各炼10炉，其得率分别为：
（1）标准方法：78.1 72.4 76.2 74.3 77.4 78.4 76.0 75.5 76.7 77.3
（2）新方法：79.1 81.0 77.3 79.1 80.0 79.1 79.1 77.3 80.2 82.1
设这两种方法相互独立，且分别来自正态总体N（μ1，σ2）和N（μ2，σ2），μ1、μ2、σ2均未知.问建议的新操作方法能否提高得率（取α=0.05）？
解 （1）建立假设
（2）MATLAB代码
结果H=1，表明在α=0.05的显著水平下，可以拒绝原假设，即认为建议的新操作方法较原方法优.
例4 某商店为了确定向公司A或公司B购买某种商品，将A和B公司以往的各次进货的次品率进行比较，数据如下所示.设两样本独立，问两公司的商品的质量有无显著差异.设两公司的商品次品的密度最多只差一个平移，取α=0.05.
解 分别以μA、μB记公司A、B的商品次品率总体的均值.该问题是在显著水平α=0.05下检验假设：
结果说明，两样本总体均值相等的概率为0.8041，并不接近于0，且H=0说明可以接受原假设，即认为两个公司的商品质量无明显差异.
四、练习与思考
1.设某种油漆的9个样品，其干燥时间（以小时计）分别为
设干燥时间总体服从正态分布N（μ，σ2），求μ和σ的置信度为0.95的置信区间（σ未知）.
2.某种电子元件的寿命X（以小时计）服从正态分布，μ和σ均未知.现测得16只元件的寿命如下：
问是否有理由认为元件的平均寿命大于225小时？