线性方程组有解的条件

一、线性方程组有解的条件

通过对上一节的四个例题的分析发现，例1、2、4的增广矩阵（AB）与系数矩阵A的秩是相等的，方程组就有解，而例3中增广矩阵（AB）与系数矩阵A的秩不相等，此时方程组也就无解，这绝非偶然，我们有如下定理.

定理1 线性方程组（1）有解的充要条件是：r（AB）=r（A）.

而对例1、2、4更进一步分析发现，当r（AB）=r（A），又正好等于未知数的个数n时，方程组就有唯一的解，如例4，而r（AB）=r（A）但小于未知数的个数n时，方程组就有无穷多组解，如例1、2，又有如下定理.

定理2 线性方程组（1）有r（AB）=r（A）=r，则当r=n时，线性方程组有唯一解，当r＜n时，线性方程组就有无穷多组解.

定理3 齐次线性方程组有非零解的充要条件是r（A）＜n.

若线性方程组有解，那么此线性方程组为相容的，否则就是不相容的.

例1 判断下列方程组是否有解，若有解有多少组解？

当λ+1≠0时，即λ≠-1，有r（AB）=r（A）=n（=3），此时方程组有唯一解；

当λ+1=0，且k+6≠0时，即λ=-1，且k≠-6，有r（AB）≠r（A），此时方程组无解；

当λ+1=0，且k+6=0时，即λ=-1，且k=-6，有r（AB）=r（A）=2＜n（=3），此时方程组有无穷多组解.