线性规划问题的数学模型
1.线性规划的基本要素
由上述例子可知，规划问题的数学模型组成的三要素如下：
（1）变量，或称决策变量.它是问题中要确定的未知量，用以表明规划中用数量表示的方案、措施，可由决策者决定和控制.
（2）目标函数.它是决策变量的函数，按优化目标分别在这个函数前加上max或min.
（3）约束条件.它是决策变量取值时受到的各种资源条件的限制，通常表达为含决策变量的等式或不等式.
如果规划问题的数学模型中，决策变量的取值是连续的，既可以为整数，也可以为分数、小数或实数，目标函数是决策变量的线性函数，约束条件是含决策变量的线性等式或不等式，则该类规划问题的数学模型称为线性规划的数学模型.实际问题中线性的含义：一是严格的比例性，如生产某产品对资源的消耗量和可获取的利润，同其生产数量严格成比例；二是可叠加性，如生产多种产品时，可获取的总利润是各项产品的利润之和，对某项资源的消耗量应等于各产品对该项资源消耗量的和.很多实际问题往往不符合上述条件，为处理问题方便，可看作近似满足线性条件.
2.线性规划模型的一般形式
假定线性规划问题中含n个变量，分别用xj（j=1，…，n）表示，在目标函数中xj的系数为cj（cj通常称为价值系数），xj的取值受m项资源的限制，用bi（i=1，…，m）表示第i种资源的拥有量，用aij表示变量xj取值为1个单位时所消耗或含有的第i种资源的数量，通常称aij为技术系数或工艺系数.上述线性规划问题的数学模型可表示为
其中，A称为约束方程组（约束条件）的系数矩阵.
变量xj的取值一般为非负，即xj≥0；从数学意义上可以有xj≤0，如果变量xj表示第j种产品本期内产量相对于前期产品的增加值，则xj的取值范围为（-∞，+∞），称xj取值不受约束，或xj无约束.
例2 一个奶制品加工厂用牛奶生产A、B两种奶制品，一桶牛奶可以在甲车间用12 h加工成3 kg A，或者在乙车间用8 h加工成4 kg B.根据市场需求，生产出的A、B全部能售出，且每千克A获利24元，每千克B获利16元.现在加工厂每天能得到50桶牛奶的供应，每天正式工人总的劳动时间为480 h，并且甲车间的设备每天至多能加工100 kg A，乙车间的设备加工能力可以认为没有上限限制（即加工能力足够大）.试为该厂制订一个生产计划，使每天获利最大.
解 问题分析
这个优化问题的目标是使每天的获利最大，要做的决策是生产计划，即每天用多少桶牛奶生产A，用多少桶牛奶生产B（当然，决策变量也可以取每天生产多少千克A、多少千克B，得到的模型不会有本质的区别），决策受到3个条件的限制：原料（牛奶）供应、劳动时间、甲车间的加工能力.按照题目要求，将决策变量、目标函数和约束条件用数学符号及式子表示出来，就可得到这个优化问题的数学模型.
优化模型
决策变量：设每天用x1桶牛奶生产A，用x2桶牛奶生产B；
目标函数：设每天获利为z（元）.x1桶牛奶可生产3x1（kg）A，获利24×3x1，用x2桶牛奶生产4x2（kg）B，获利16×4x2，故z=72x1+64x2.
约束条件：
原料供应：生产A、B的原料（牛奶）总量不得超过每天的供应，即x1+x2≤50（桶）；
劳动时间：生产A、B的总时间不得超过每天正式工人总的劳动时间，即12x1+8x2≤480（h）；
设备能力：A的产量不得超过甲车间设备每天的加工能力，即3x1≤100；
非负约束：x1，x2均不能为负值，即x1，x2≥0.
综上可得
这就是该问题的基本模型.由于牛奶是任意可分的，我们可以假设决策变量是在实数范围内取值，因此这是一个连续规划.又由于目标函数和约束条件对于决策变量而言都是线性的，所以这是一个（连续）线性规划（LP）问题.
模型分析和假设
从该实例可以看到，许多实际的优化问题的数学模型都是线性规划（特别是在像生产计划这样的经济管理领域），这不是偶然的.
线性规划问题隐含有如下的假定，或者说线性规划具有如下的特征：
比例性假定：决策变量变化引起的目标函数的改变量和决策变量的改变量成比例，同样，每个决策变量的变化引起约束方程左端值的改变量和该变量的改变量成比例.
可加性假定：每个决策变量对目标函数和约束方程的影响是独立于其他变量的，目标函数值是每个决策变量对目标函数贡献的总和.
连续性假定：线性规划问题中的决策变量应取连续值.
确定性假定：线性规划问题中的所有参数都是确定的参数.线性规划问题不包含随机因素.
比例性和可加性保证了目标函数和约束条件对于决策变量的线性性，连续性和确定性则允许得到决策变量的实数可行解和实数最优解.
对于本例，能建立上面的线性规划模型，实际上是事先作了如下的假设：
（1）A、B两种奶制品每千克的获利是与它们各自产量无关的常数，每桶牛奶加工出A、B的数量和所需的时间是与它们各自的产量无关的常数.
（2）A、B两种奶制品每千克的获利是与它们相互间产量无关的常数，每桶牛奶加工出A、B的数量和所需的时间是与它们相互间产量无关的常数.
（3）加工A、B牛奶的桶数可以是任意实数（只要不是负数）.
（4）每一个量都是确定的.
这四条假设恰好保证了上面的四条性质.当然，在现实生活中这些假设只是近似成立的，比如，A、B的产量很大时，自然会使它们每千克的获利有所减少.
由于这些假设对于一般经过简化的实际问题是成立的，后面的例题就不再一一列出类似的假设了.不过，在打算用线性规划模型解决实际问题时，应该考虑上面四条假设是否近似地满足.
进一步讨论以下3个附加问题：
（1）若用35元可以买到1桶牛奶，是否作这项投资？若投资，每天最多购买多少桶牛奶？
（2）若可以聘用临时工人以增加劳动时间，付给临时工人的工资最多是每小时几元？
（3）由于市场需求变化，每千克A的获利增加到30元，是否应该改变生产计划？
上述问题即是所谓的灵敏度分析.