数学规划简介

在工程技术、经济管理、科学研究和日常生活等诸多领域中，人们经常遇到的一类决策问题是：在一系列客观或主观限制条件下，寻求使所关注的某个或多个指标达到最大（最小）的决策.例如，结构设计要在满足强度要求的条件下选择材料的尺寸，使其总重量最轻；资源分配要在有限资源约束下制定各用户的分配数量，使资源产生的总效益最大；运输方案是要在满足物资需求和装载条件下安排从各供应点到各需求点的运量和路线，使运输总费用最低；生产计划要按照产品工艺流程和顾客要求，制定原料、零件、部件等订购、投产的日程和数量，尽量降低成本使利润最高.

上述这种决策问题通常称为最优化（简称为优化）问题.人们解决优化问题的手段主要有以下几种.

（1）依赖过去的经验判断面临的问题.这似乎切实可行，并且没有太大的风险，但是其处理过程会融入决策者太多的主观因素，常常难以客观地给予描述，从而无法确定结果的最优性.

（2）做大量的试验反复比较.这固然比较真实可靠，但是常要花费太多的资金和人力，而且得到的最优结果基本上跑不出开始设计的试验范围.

（3）用数学建模的方法建立优化模型求解最优决策.通常将这种方式简称为优化建模.优化建模是解决优化问题的最有效、最常用的方法之一.

根据决策问题的数学结构的不同，最优化问题的类型从数学规划、最优控制、随机运筹到最优估计等，涉及范围广、跨度大，几乎理工医农、管理军事乃至人文经法领域，都存在着大量形式多样的最优化问题.它的主体由规划论、组合数学、控制论、运筹和计算数学等组成.最优化领域的基础部分是数学规划.

数学规划是研究在某些约束条件下函数的极值问题的学科.数学规划是运筹学的重要分支，也是最重要的基础之一，是运筹学中应用极其广泛的技术之一.在许多情况下，采用这种技术能取得成功，以致它的用途已超出了运筹学的范畴，成为人们日常的规划决策工具.同时，在数学建模实践中，数学规划方法（优化建模方法）也是最常用的建模方法之一.

大量实际问题，如物资调运、场址选择、资源分配、市场销售、任务指派等都可以归结为数学规划问题来处理.数学规划模型的一个显著特点是它们大部分为最优化模型.一般来说，数学规划模型都有一个目标函数和一系列的约束条件，通常把需要求极值的函数称作目标函数，模型的目标是在满足约束条件的前提下使目标函数最大化或最小化.

数学规划包括以下几个分支：（1）线性规划.研究在线性约束条件下线性目标函数的极值问题，是数学规划的基础.（2）非线性规划.它是指在约束条件和目标函数中出现非线性关系的规划.（3）整数规划.规定部分或全部变量为整数的规划.（4）组合规划.讨论在有限集中选择一些子集使目标函数达到最优的问题.（5）参数规划.在目标函数和约束条件中带有参数的规划.（6）随机规划.它是指某些变量为随机变量的规划.（7）动态规划.它是处理多阶段决策的一种方法.此外还有多目标规划、几何规划、分数规划、模糊规划等.在这些众多内容中，线性规划是最基本最重要的分支，它在理论上最成熟、方法上最完善、应用上最广泛，其他分支都是线性规划的发展和推广.