一、数学期望

一、数学期望

人们在研究水稻品种的优劣时，往往关心的是稻穗的平均稻谷粒数；在评价两名射手的射击水平时，通常是通过比较两名射手在多次射击试验中命中环数的平均值来区分水平高低.我们把一些与随机变量的概率分布密切相关且能反映随机变量某些方面重要特征的数值，称为随机变量的数字特征.

例1 某商店向工厂进货，该货物有四个等级：一、二、三和等外，产品属于这些等级的概率依次是：0.50、0.30、0.15、0.05.若商店每销出一件一等品获利10.50元，销出一件二、三等品分别获利8元和3元，而销出一件等外品则亏损6元，问平均销出一件产品获利多少元？

解 假设该商店进货量N极大，则其中有一等品0.50N件，二等品和三等品和等外品数分别为0.30N件、0.15 N件、0.05 N件.这N件产品总的销售获利为

从结果来看，平均获利与进货量N并无关系，只与各等级的概率和获利情况有关，等于它们乘积之和.即这个量不依赖于试验的次数，它体现了随机变量X的客观属性，我们把它称为随机变量X的数学期望或理论均值.

1.离散型随机变量数学期望

设随机变量X的分布列为

若级数绝对收敛，则称为随机变量X的数学期望，简称期望，记作EX，即

如果级数发散，则称X的数学期望不存在.

可见，离散型随机变量的数学期望是以概率为权的加权平均，它由分布列唯一确定，其结果表达了随机变量取值的集中位置或平均水平，故数学期望也称为均值.

例2 某两名射手在相同条件下进行射击，其命中环数X及其概率如表6-7所示，试问哪名射手的技术更好些？

解 甲、乙射手命中环数X的数学期望为

结果说明，若甲、乙进行多次射击，则甲的平均命中环数为9.4，而乙的平均命中环数为9.1，这说明甲的射击技术比乙好些.

2.连续型随机变量数学期望

设连续型随机变量X的概率密度为f（x），若积分

绝对收敛，则称积分为X的数学期望，记为EX，即

若积分发散，则称X的数学期望不存在.

连续型随机变量的数学期望是由它的密度函数唯一确定的，其结果仍然体现了随机变量取值的集中位置或平均水平.

例3 随机变量X的分布密度为求X的数学期望.

解

下面简单介绍随机变量函数的数学期望：

设随机变量Y是随机变量X的函数，且g（x）为连续函数.

（1）若X是离散型随机变量，其分布列为p{X=xi}=pi，i=1，2，…，若级数绝对收敛，则

（2）若X是连续型随机变量，其密度函数为f（x），若积分绝对收敛，则

例4 对例3中分布，求EX2.

解

3.数学期望的性质

（1）设C为任意一个常数，则E（C）=C；

（2）设X为一随机变量，且EX存在，C为常数，则有E（CX）=CEX；由此可得E（aX+b）=aEX+b（a，b为任意常数）；

（3）设EX、EY存在，则E（X+Y）=EX+EY，推广至n个随机变量；

（4）设EX、EY存在，则E（XY）=EX·EY，推广至n个相互独立的随机变量.