偏导数的概念及其计算
1.偏导数的概念
在研究一元函数时，是从研究函数的变化率引入了导数的概念.对于多元函数同样需要讨论它的变化率.多元函数的自变量不止一个，多元函数与自变量的关系要比一元函数复杂得多，为此，我们讨论多元函数关于一个自变量的变化率.以二元函数z=f（x，y）为例，如果自变量x变化，而自变量y保持不变（可看作常量），这时z可视为x的一元函数，这时函数对x求导，就称为二元函数z=f（x，y）对x的偏导数.
设函数z=f（x，y）在点（x0，y0）的某个邻域内有定义，当固定y=y0，而x在x0处有增量Δx时，相应的函数有增量（称为函数z对x的偏增量，记为Δxz）
存在，则称此极限值为函数z=f（x，y）在点（x0，y0）处对x的偏导数.记为
类似地，函数z=f（x，y）在点（x0，y0）处对y的偏导数定义为
如果函数z=f（x，y）在区域D内每一点（x，y）处都存在对x的偏导数，则这个偏导数仍是x、y的函数，称为函数z=f（x，y）对自变量x的偏导函数，记为
类似地，可以定义函数z=f（x，y）对自变量y的偏导函数，记为
函数z=f（x，y）在点（x0，y0）处对x的偏导数f′x（x0，y0），就是偏导函数f′x（x，y）在点（x0，y0）处的函数值，而f′y（x0，y0）就是偏导函数f′y（x，y）在点（x0，y0）处的函数值.在不至于混淆的情况下，常把偏导函数称为偏导数.
二元以上的多元函数的偏导数可类似地定义.
2.二元函数偏导数的几何意义
由空间解析几何知识，我们知道曲面z=f（x，y）被平面y=y0截得的空间曲线为
图2-7
而二元函数z=f（x，y）在点（x0，y0）处对x的偏导数f′x（x0，y0），就是一元函数z=f（x，y0）在x0处的导数.由一元函数导数的几何意义可知，二元函数z=f（x，y）在（x0，y0）处对x的偏导数，就是平面y=y0上的一条曲线
在点M0（x0，y0，f（x0，y0））处的切线M0 Tx对x轴的斜率，同样，f′y（x0，y0）表示曲线
在点M0处的切线M0Ty对y轴的斜率（图2-7）.
3.偏导数的求法
由偏导数的定义可知，函数z=f（x，y）对x的偏导数就是把y看成常数，把函数z=f（x，y）视为以x为自变量的一元函数f（x，y），然后对这个一元函数求关于x的导数，它实质上就是一元函数的导数.同样，求z=f（x，y）对y的偏导数时，只需将x看成常数.因此，计算二元函数的偏导数就归结为计算一元函数的导数.
4.函数的偏导数与函数的连续性的关系
我们知道，一元函数在其可导点处一定连续，但对于多元函数来说，它在某点的偏导数存在，不能保证函数在该点连续，如二元函数
在前一节中我们已经知道，它在点（0，0）处的极限不存在，故在点（0，0）处不连续.但是
这说明多元函数在一点连续并不是函数在该点存在偏导数的必要条件.
同样，还可以举出在点P（x0，y0）连续，而在该点的偏导数不存在的例子.例如，二元函数
在点（0，0）处是连续的，但在该点的偏导数不存在.
以上两例说明，二元函数连续与偏导数存在，这两个条件之间是没有必然联系的.