实验1 多元函数微积分基础实验
一、实验目的
1.了解多元函数微分、积分的基本概念，理解多元函数偏导数、全微分等概念；
2.掌握多元函数极值的概念及其求法；
3.掌握MATLAB软件有关求导数、积分的命令.
二、实验原理
1.建立符号变量命令为sym和syms，调用格式为：
x=sym（′x′） 建立符号变量x；
syms x y z建立多个符号变量x，y，z.
2.MATLAB求导命令diff的调用格式：
diff（函数f（x，y），变量名x）求f（x，y）对x的偏导数
；
diff（函数f（x，y），变量名x，n）求f（x，y）对x的n阶偏导数
.
3.求多元函数z=f（x，y）的极值点X和极小值min f，可用如下方法：
方法一：X=f minsearch（′f′，x0），用的是Nel der-Mead单纯形搜索法求解；
方法二：X=f minunc（′f′，x0），用的是BFGS拟牛顿迭代法求解.
其中
是初始点.若求极大值点，用（-1）乘函数，再求极小值点.
4.MATLAB中主要用int进行符号积分，常用格式如下：
int（s）表示求符号表达式s的不定积分；
int（s，x）表示求符号表达式s关于变量x的不定积分；
int（s，a，b）表示求符号表达式s的定积分，a，b分别为积分的上、下限；
int（s，x，a，b）表示求符号表达式s关于变量x的定积分，a，b分别为积分的上、下限.
5.MATLAB中主要用trapz，quad，quad8等进行数值积分，常用格式如下：
trapz（x，y）采用梯形积分法，其中x是积分区间的离散化向量，y是与x同维数的向量，用来表示被积函数.
quad8（′fun′，a，b，tol）采用变步长数值积分，其中fun为被积函数的M函数名，a，b分别为积分上、下限，tol为精度，缺省值为1e-3.
dblquad（′fun′，a，b，c，d）表示求矩形区域的二重数值积分，其中fun为被积函数的M函数名，a，b分别为x的上、下限，c，d分别为y的上、下限.
使用helpint，helptrapz，helpquad等查阅有关这些命令的详细信息.
三、实验内容
例1 定义二元函数z=x2+y3.
解 （1）方法一：syms x y；z=x.ˆ2+y.ˆ3；
（2）方法二：编写M文件fun7.m定义函数
（3）方法三：利用inline函数
注：不同的定义方式，调用格式不完全相同.例2 设u=x2+2y2+yz，求
.
解 （1）方法一输入命令：syms x y z；diff（xˆ2+2*yˆ2+y*z，y），得ans=4*y+z.
（2）方法二利用jacobian命令：jacobian（xˆ2+2*yˆ2+y*z，[xy]），得ans=[2*x，4*y+z]，即矩阵
.
例3 设z=x6-3y4+2x2y2，求
.
解 （1）求
的程序为：syms x y；diff（xˆ6-3*yˆ4+2*xˆ2*yˆ2，x，2）
运行结果：ans=30*xˆ4+4*yˆ2.
（2）求
的程序为：syms x y；diff（xˆ6-3*yˆ4+2*xˆ2*yˆ2，y，2）
运行结果：ans=-36*yˆ2+4*xˆ2.
（3）求
的程序为：syms x y；diff（diff（xˆ6-3*yˆ4+2*xˆ2*yˆ2，x），y）运行结果：ans=8*x*y.
例4 设由x，y所确定的z的隐函数为xy+y2+2z2=5，求
.
解 （1）令
输入命令：syms x y z；a=jacobian（x*y+yˆ2+2*zˆ2-5，[x，y，z]）
可得矩阵
.
（2）利用公式
，
求
的程序为：-a（1）/a（3），运行结果：-1/4*y/z；
求
的程序为：-a（2）/a（3），运行结果：1/4*（-x-2*y）/z.
例5 求f（x）=（y-x2）2+（1-x）2在-5≤x≤5，-5≤y≤5内的极值.解 （1）先作函数的图形，结果如图10-1所示.程序如下：
（2）以下程序为求函数的极小值：
f=′（x（2）-x（1）.ˆ2）.ˆ2+（1-x（1））.ˆ2′；
x=f minsearch（f，[0.2，0.3]），minf=eval（f）.
运行结果：x=[1.0000，1.0000]，minf=4.1546e-010.
说明在x=1，y=1时，函数的极小值为0.
例6 计算二重积分
.
解 先将被积函数转化为二次积分：
程序为：
运行结果：ans=π.
例7 计算积分
，其中D为锥面
所围成的平面区域.
解 （1）画出积分区域图形，如图10-2所示.
图10-2
（2）计算积分值.
运行结果：I=547/168-3/4*pi.
四、练习与思考
1.用diff函数求函数
的偏导数.
2.求由方程x2+2xy-yz=4确定的隐函数的导数
.
3.求函数f（x，y）=e2x（x+y2+3y）在0＜x＜1，-2＜y＜0内的极小值.
4.计算二重积分
，其中D由y=x，x=1，y=0围成.