随机事件的概率
1.频数与频率定义
在相同条件下进行n次重复试验，如果事件A发生了k次，则k为事件A发生的频数，比值
称为事件A发生的频率，记作fn（A），即
.
例如，历史上曾有人做过抛掷硬币的大量重复试验.如表6-1所示.
表6-1
从上表可以看出，当试验次数逐渐增多时，正面出现的频率值是稳定的，它在0.5附近摆动.
2.概率的定义
在相同条件下，重复进行n次试验，随机事件A出现的频率
稳定地在某个固定的数值p的附近摆动，而且一般来说，n越大，摆动的幅度越小，我们称这个稳定值p为随机事件A的概率，记作P（A）=p，此为概率的统计定义.
容易验证0≤P（A）≤1，特别情况，P（Ø）=0，P（Ω）=1.
3.概率的古典定义
试验的样本空间Ω中只含有有限多个基本事件，在每次试验中，每个基本事件出现的可能性相同，具有这种特点的随机试验称为古典概型.
若随机试验为古典概型，且已知样本空间Ω中含有n个基本事件，事件A中含有k个基本事件，则事件A的概率
古典概率的性质：
（1）0≤p（A）≤1；
（2）p（Ω）=1，p（Ø）=0.
利用概率的古典定义计算随机事件A的概率，首先要确定随机试验满足古典概型的特点，然后确定样本空间Ω所包含的基本事件总数n和事件A中包含的基本事件数k，则有
.
例3 掷3枚硬币，求3个正面向上的概率.
解 设事件A={3个正面向上}，则
基本事件的总数为n=23，事件η包含的基本事件数m=1.
所以
例4 一个袋内有5个红球，3个白球，2个黑球.计算任取3个球恰为一红、一白、一黑的概率.
解 设事件A={任取3个球恰为一红、一白、一黑}，则基本事件的总数为
，事件A包含的基本事件数
.
所以
例5 从有9件正品、3件次品的箱子中抽取两次，每次一件，按两种方式抽取：（1）不放回；（2）有放回，求事件A={取得两件正品}和事件B={取得一件正品一件次品}的概率.
解 （1）从12件产品中不放回抽取两件，Ω所含的基本事件数为
，A包含的基本事件数为
，B包含的基本事件数为
，
（2）从12件产品中有放回抽取两件，Ω所含的基本事件数为122，A包含的基本事件数为92，B包含的基本事件数为9×3+3×9，
例6 将n个球随意地放入N个箱子中（N≥n），假设每个球都等可能地放入任意一个箱子，求下列各事件的概率：
（1）指定的n个箱子各放一个球；
（2）每个箱子最多放入一个球；
（3）某指定的箱子里恰好放入k（k≤n）个球.
解 将n个球随意地放入N个箱子中，共有Nn种放法，记（1）、（2）、（3）的事件分别为A，B， C.
（1）将n个球放入指定的n个箱子，每个箱子各有一球，其放法有n！种，故有
（2）每个箱子最多放入一个球，等价于先从N个箱子中任选出n个，然后每个箱子中放入一球，其放法有
！种，故有
（3）先任取k个球（有
种取法）放入指定的箱子中，然后将其余的n-k个球随意地放入其余N-1个箱子，共有（N-1）n-k种放法，故有
