拉普拉斯变换的应用

四、拉普拉斯变换的应用

由于拉普拉斯变换（以下简称拉氏变换）提供了求解初值问题的一种简便方法，所以拉氏变换在各种线性系统理论分析中的应用十分广泛.下面我们介绍利用拉氏变换求解线性微分方程的方法.

1.线性微分方程及微分方程组

解线性微分方程的基本思想如下：

2.解常系数线性微分方程

（1）初值问题

例4 求y+3y″+3y′+y=1满足初始条件y（0）=y′（0）=y″（0）=0的特解.

解 设L[ y（t）]=Y （s），对方程两边取拉氏变换，根据拉氏变换的微分性质并考虑到初始条件，可得像方程

（2）边值问题

例5 求y″-2y′+y=0满足y（0）=0，y（1）=2的特解.

以上各例如果用求解常微分方程的经典方法去做，就会发现运算非常烦琐，对于比较特别的方程（如非齐次项且具有跳跃点时），求解起来就不只是烦琐而是困难了.应用拉普拉斯变换，将微分的运算转化为代数运算，并将初始条件和边界条件一并考虑，借助拉氏变换表，求解微分方程就变得异常简便.