齐次线性方程组解的结构

二、齐次线性方程组解的结构

对于第六节的齐次线性方程组（2），相应的矩阵方程是AX=0，对于齐次线性方程组已经有如下结论：

1.当系数矩阵A为m×n矩阵，齐次线性方程组只有零解的充要条件是：r（A）=n；

2.当系数矩阵A为m×n矩阵，齐次线性方程组有非零解的充要条件是：r（A）＜n，设r（A）=r，则AX=0有n-r个自由未知数.

那么如何求出AX=0非零解的一般解，即通常所说的通解呢？

首先来看齐次线性方程组解的性质.

性质1 若X1，X2是AX=0的解，则X1+X2也是AX=0的解.

性质2 若X是AX=0的解，则k X也是AX=0的解（k是任意常数）.

由性质1、2知道，要求AX=0的一般解，就必须先求出它的最基本的几个解X1，X2，…，Xn-r作为AX=0的基础解系，则k1 X1+k2 X2+…+kn-r Xn-r就是AX=0的全部解（k1，k2，…，kn-r为任意常数），k1 X1+k2 X2+…+kn-r Xn-r就称为AX=0通解.

下面我们具体给出求齐次线性方程组AX=0通解的步骤：

1.把齐次线性方程组的系数矩阵化为阶梯形矩阵；

2.把阶梯形矩阵中不是首非零元所在列对应的变量作为自由未知量，共有n-r个；

3.写出阶梯形矩阵相应的方程组，分别令一个自由未知量为1，其余全为零，求得n-r个解，这n-r个解构成了AX=0的基础解系；

4.写出通解k1 X1+k2 X2+…+kn-r Xn-r（k1，k2，…，kn-r为任意常数）.