事件之间的关系及运算

二、事件之间的关系及运算

对于随机试验而言，它的样本空间Ω可以包含很多随机事件，概率论的任务之一就是研究随机事件的规律，通过对较简单事件规律的研究再进一步掌握更复杂事件的规律，为此需要研究事件和事件之间的关系与运算.

若没有特殊说明，认为样本空间Ω是给定的，且还定义了Ω中的一些事件，由于随机事件是样本空间的子集，从而事件的关系与运算和集合的关系与运算相类似.

1.事件的包含关系

若A发生必然导致B发生（A中任意一个基本事件都在B中），则称事件B包含事件A，记作B⇔A（或A⊂B），如图6-1所示.

如投掷一颗骰子的试验，A={出现4点}，B={出现偶数点}，则A发生必导致B发生，故A⊂　B.

可以给上述含义一个几何解释，设样本空间是一个正方体，A，B是两个事件，也就是说，它们是Ω的子集，“A发生必然导致B发生”意味着属于A的样本点在B中，由此可见，事件A⊂Ω的含义与集合论是一致的.

特别情况，对任何事件A，有

2.事件相等

若A⊂B，同时有B⊂A，称A与B相等，记为A=B，易知，相等的两个事件A，B总是同时发生或同时不发生.

如掷骰子试验中，记A={掷出3点或6点}，B={掷出3的倍数点}，这两个事件所包含样本点相同，因而A=　B.

3.和（并）事件

称事件A和B至少有一个发生所构成的事件为A与B的和事件，记作A∪B或A+B，如图6-2所示.

特别地

若A⊂B，则A∪B=　B.

如掷一颗骰子观察所得的点数，设A={1，3，5}，B={1，2，3}，则A∪B={1，2，3，5}.

和事件的概念还可以推广到可列个事件的情形.

4.积（交）事件

称事件A与B同时发生所构成的事件为A与B的积事件，记作A∩B或AB，如图6-3所示.

若A⊂B，则A∩B=A.

如在掷骰子的试验中，A={2，4，6}，B={3，4，5}，则AB={4}，即只有随机试验出现4点时，A与B同时发生.

同样积事件的概念也可以推广为可列个事件的情形.

5.差事件

事件A发生而B不发生所构成的事件称为A与B的差事件，记作A-B，如图6-4所示.

显然

如掷骰子试验中，C={2，4，6}，D={1，2，3}，则

6.互斥事件

若事件A、B不能同时发生，即AB=Ø，则称事件A与B是互斥事件或互不相容事件.两事件不互斥称为相容.如图6-5所示.

推广：设n个事件A1，A2，…，An，若其中任意两个事件不能同时发生（两两互斥），称A1，A2，…，An互斥（互不相容）.

如掷一颗骰子，令A={1，3，5}，B={4}，则有AB=Ø，即A与B互斥.

7.互逆事件

若事件A与事件B在一次试验中既不能同时发生，但又必有一个发生，即满足A∪B=Ω，AB=Ø，则称事件A与B为互逆事件或对立事件.若以表示事件A不发生，于是A的对立事件B实际上就是，记为，同理，如图6-6所示.

由此说明，在一次试验中A与有且仅有一个发生，即不是A发生就是发生.

显然，由此说明A与互为逆事件.

两事件互逆一定互斥，反之则不一定.

如掷一颗骰子，A={1，3，5}，B={4}，C={2，4，6}，则AC=Ø，且A∪C={1，2，3，4，5，6}=Ω，所以，即C与A是互逆事件，由于AB=Ø，所以A、B是互斥事件，由于AC=Ø，所以A、C是互斥事件，但由于AB=Ø，而A∪B={1，3，4，5}≠Ω，所以A、B不是互逆事件.