二、常见的统计量

二、常见的统计量

1.样本均值及其抽样分布

设X1，X2，…，Xn为取自总体X的样本值，其算术平均值称为样本均值，一般用表示，即

在分组样本场合，样本均值的近似公式为

其中k为组数，Xi为第i组的组中值，fi为第i组的频数.

例1 某单位收集到20名青年人某月的娱乐支出费用数据：

该月这20名青年的平均娱乐支出为多少？

解 由统计的20名青年人该月的娱乐支出费用数据，使用公式（7.1）进行计算可得

将这个数据分组可得到如下频数频率分布（表7-7）：

对表7-7的分组样本，使用公式（7.2）进行计算可得

我们看到两种计算结果的不同，事实上，由于公式（7.2）未用到真实的样本观测数据，因而给出的是近似结果.

关于样本均值，有如下性质.

定理1 若把样本与样本均值之差称为偏差，则样本的所有偏差之和为0，即

定理2 样本与样本均值的偏差平方和最小，即在形如的函数中，最小，其中c为任意给定常数.

下面考虑样本均值的分布.现在我们给出关于样本均值抽样分布的一个重要结论.

定理3 设X1，X2，…，Xn是来自总体X的样本，为样本均值.

（1）如总体分布为N（μ，σ2），则的精确分布为；

（2）若总体分布未知或不是正态分布，但E（X）=μ，则n较大时，的渐进分布为，常记为.这里渐进分布是指n较大时的近似分布.

2.样本方差与样本标准差

设X1，X2…，Xn为取自总体X的样本，则它关于样本均值的平均偏差平方和

称为样本方差，其算术根称为样本标准差.相对样本方差而言，样本标准差通常更有实际意义，因为它与样本均值具有相同的度量单位.在n不大时，常用

作为样本方差（也称无偏方差），其算术根也称为样本标准差，在实际中，S*2比S2更常用.

在这个定义中，n为样本量，称为偏差平方和，n-1称为偏差平方和的自由度.其含义是：在确定后，n个偏差中只有n-1个值可以自由变动，而第n个则不能自由取值，因为.

样本偏差平方和有三个不同的表达式：

它们都可用来计算样本方差.

在分组样本场合，样本方差的近似计算公式为

其中，Xi，fi为第i个区间的组中值和频数.

例2 考察例1的样本，我们已经计算得=99.4，其样本方差与样本标准差分别为多少？

3.样本矩及其函数

样本均值和样本方差更一般的推广是样本矩，这是一类常见的统计量.

设X1，X2，…，Xn是样本，则统计量

称为样本k阶原点矩，样本一阶原点矩就是样本均值.统计量

称为样本k阶中心矩，样本二阶中心矩就是样本方差.

当总体分布关于中心对称时，用和S*刻画样本特征很有代表性.而当其不对称时，只用和S*就显得很不够.为此，需要一些刻画分布形状的统计量.这里我们介绍样本偏度和样本峰度，它们都是样本中心矩的函数.

样本偏度γ1反映了总体分布密度曲线的对称性信息.如果数据完全对称，则不难看出B3=0，不对称的数据则B3≠0.这里用B3除以是为了消除量纲的影响，γ1是个相对数，它很好地刻画了数据分布的偏斜方向和程度.

样本峰度γ2反映了总体分布密度曲线在其峰值附近的陡峭程度.当γ2＞0时，分布密度曲线在其峰值附近比正态分布来得陡，称为尖顶型；当γ2＜0时，分布密度曲线在其峰值附近比正态分布来得平坦，称为平顶型.

例3 表7-8是两个班（每班50名同学）的英语考试成绩，分别计算两个班级的平均成绩、标准差、样本偏度及样本峰度.

下面我们分别计算两个班级的平均成绩、标准差、样本偏度及样本峰度，表7-9和表7-10分别给出甲班和乙班的计算过程.

可算得两个班的平均成绩、标准差、样本偏度、样本峰度分别为

由此可见，两个班的平均成绩相同，标准差也几乎相同，样本偏度分别为-0.16和0.068，显示两个班的成绩基本是对称的.但两个班的样本峰度明显不同，乙班的成绩分布比较平坦，而甲班则稍显尖顶.