常用的统计量的分布
1.X2分布（卡方分布）
证明略（采用数学归纳法）.
χ2分布的密度图形如图7-4所示.它随n取不同的数值而不同.
图7-4 χ2（n）分布密度函数
χ2分布具有下列性质：
这个性质称为χ2变量的可加性.
证明略（采用数学归纳法）.
定理7 设χ2～χ2（n），则对任意x有
2.t分布
定理8 设随机变量X服从标准正态分布N（0，1），随机变量Y服从自由度为n的χ2分布，且X与Y相互独立，则
这种分布称为自由度为n的t分布，简记为t（n），它亦称学生（St udent）分布，随机变量T简称T变量.
现在计算n→+∞时，t分布密度的极限.(https://www.daowen.com)
其中最后一个等号由Γ函数性质获得.计算结果表明，当n→+∞时t分布密度趋于标准正态分布密度.
t分布的密度函数的图像是一个关于纵轴对称的分布，与标准正态分布的密度函数形状类似，只是峰比标准正态分布低一些，尾部的概率比标准正态分布的大一些.
注：（1）自由度为1的t分布就是标准柯西分布，它的均值不存在；
（2）n＞1时，t分布的数学期望存在，且为0；
（4）当自由度较大（如n≥30）时，t分布可以用N（0，1）分布近似.
由此，哥塞特怀疑是否有另一个分布族存在，通过深入研究，哥塞特于1908年以“Student”的笔名发表了此项研究成果，故后人也称t分布为学生氏分布，t分布的发现在统计学史上具有划时代的意义，打破了正态分布一统天下的局面，开创了小样本统计推断的新纪元.
当随机变量T～t（n）时，称满足{T≤t1-α（n）}=1-α的t1-α（n）是自由度为n的t分布的1-α分位数，分位数t1-α（n）可以从数学用表中查到.
由于t分布的密度函数关于0对称，故其分位数间有如下关系：
3.F分布
定理9 设X和Y分别服从自由度为m，n的χ2分布，且X与Y相互独立，则
这种分布称为第一自由度为m，第二自由度为n的F分布，或自由度为（m，n）的F分布，记为F（m，n）.随机变量F简称F变量.
当随机变量F～F（m，n）时，对给定α（0＜α＜1），称满足（F≤F1-α（m，n））=1-α的F1-α（m，n）是自由度为m与n的F分布的1-α分位数.
定理10 设X1，…，Xn是来自正态总体N（μ，σ2）的样本，其样本均值和样本方差分别为
证明略.
推论
