常用的统计量的分布

三、常用的统计量的分布

1.X2分布（卡方分布）

定理4 设X1，…，Xn是独立同分布的随机变量，而每一个随机变量服从标准正态分布N（0，1），则随机变量的分布密度为

其中是伽玛函数在处的值.这种分布称为自由度为n的χ2分布，记为χ2（n）.随机变量χ2称为χ2变量.

证明略（采用数学归纳法）.

χ2分布的密度图形如图7-4所示.它随n取不同的数值而不同.

当χ2～χ2（n）时，对给定的α（0＜α＜1），称满足）是自由度为n的卡方分布的1-α分位数，分位数可以从数学用表中查到.

χ2分布具有下列性质：

这个性质称为χ2变量的可加性.

证明略（采用数学归纳法）.

定理7 设χ2～χ2（n），则对任意x有

此性质说明n很大时，近似服从标准正态分布，亦即自由度n很大的χ2分布近似于正态分布N（n，2n）.

2.t分布

定理8 设随机变量X服从标准正态分布N（0，1），随机变量Y服从自由度为n的χ2分布，且X与Y相互独立，则

这种分布称为自由度为n的t分布，简记为t（n），它亦称学生（St udent）分布，随机变量T简称T变量.

现在计算n→+∞时，t分布密度的极限.

其中最后一个等号由Γ函数性质获得.计算结果表明，当n→+∞时t分布密度趋于标准正态分布密度.

t分布的密度函数的图像是一个关于纵轴对称的分布，与标准正态分布的密度函数形状类似，只是峰比标准正态分布低一些，尾部的概率比标准正态分布的大一些.

注：（1）自由度为1的t分布就是标准柯西分布，它的均值不存在；

（2）n＞1时，t分布的数学期望存在，且为0；

（3）n＞2时，t分布的方差存在，且为；

（4）当自由度较大（如n≥30）时，t分布可以用N（0，1）分布近似.

t分布是统计学中的一类重要分布，它与标准正态分布的微小差别是由英国统计学家哥塞特（Cosset）发现的，哥塞特年轻时在牛津大学学习数学和化学，1899年开始在一家酿酒厂担任酿酒化学技师，从事实验和数据分析工作，由于哥塞特接触的样本容量都比较小，只有四五个，通过大量的数据积累，哥塞特发现的分布与传统认为的N（0，1）分布并不同，特别是尾部概率相差比较大.

由此，哥塞特怀疑是否有另一个分布族存在，通过深入研究，哥塞特于1908年以“Student”的笔名发表了此项研究成果，故后人也称t分布为学生氏分布，t分布的发现在统计学史上具有划时代的意义，打破了正态分布一统天下的局面，开创了小样本统计推断的新纪元.

当随机变量T～t（n）时，称满足{T≤t1-α（n）}=1-α的t1-α（n）是自由度为n的t分布的1-α分位数，分位数t1-α（n）可以从数学用表中查到.

由于t分布的密度函数关于0对称，故其分位数间有如下关系：

3.F分布

定理9 设X和Y分别服从自由度为m，n的χ2分布，且X与Y相互独立，则

这种分布称为第一自由度为m，第二自由度为n的F分布，或自由度为（m，n）的F分布，记为F（m，n）.随机变量F简称F变量.

当随机变量F～F（m，n）时，对给定α（0＜α＜1），称满足（F≤F1-α（m，n））=1-α的F1-α（m，n）是自由度为m与n的F分布的1-α分位数.

4.样本均值和样本方差S*2的分布

来自一般正态总体的样本均值和样本方差S*2的抽样分布是应用最广的抽样分布，下面我们加以介绍.

定理10 设X1，…，Xn是来自正态总体N（μ，σ2）的样本，其样本均值和样本方差分别为

证明略.

推论