一、全微分的概念

一、全微分的概念

在一元函数y=f（x）中，若f′（x）≠0，那么函数的微分dy是函数的增量Δy的线性主部，可用微分dy近似代替增量Δy，其误差是自变量x的高阶无穷小量.下面在二元函数中讨论全微分.

设函数z=f（x，y）在点（x0，y0）的某邻域内有定义，当自变量x、y在点（x0，y0）处分别在该邻域内有增量Δx、Δy时，我们知道，函数z=f（x，y）在点（x0，y0）处的全增量为Δz=f（x0+Δx，y0+Δy）-f（x0，y0）.

全增量Δz的计算一般比较复杂，类似于一元函数，希望能从Δz中分离出自变量的增量Δx、Δy的线性函数，作为Δz的近似值.

例1 设矩形金属薄片长为x0，宽为y0，则面积S=x0y0.设薄片受热膨胀，长增加Δx，宽增加Δy，其面积相应增加ΔS（图2-8），

全增量ΔS由y0Δx，x0Δy，ΔxΔy三项组成，从图2-8可以看出，Δx·Δy这一项比其余两项小得多.令ρ=，当ρ→0时，ΔxΔy是ρ的高阶无穷小量，即ΔxΔy=ο（ρ）.又因为x0，y0为受热前的量，与受热无关，对受热这一过程而言是常数，所以全增量ΔS只是Δx，Δy的函数，令x0=B，y0=A，则ΔS可表示为

这里与一元函数类似，从全增量ΔS中分离出Δx和Δy的线性部分AΔx+BΔy，再加上一项比ρ高阶的无穷小量ο（ρ）.下面给出二元函数的全微分定义.

设二元函数z=f（x，y）在点（x0，y0）的某邻域内有定义，如果z=f（x，y）在点（x0，y0）的全增量

其中A、B与Δx、Δy无关，，o（ρ）是当ρ→0时，比ρ高阶的无穷小量，则称二元函数z=f（x，y）在点（x0，y0）处可微，并称AΔx+BΔy为函数z=f（x，y）在点（x0，y0）处的全微分，记作dz，即

当充分小时，可用全微分dz作为函数f（x，y）的全增量Δz的近似值.