二、正态分布
正态分布是计量资料最常见的一种分布类型。生物医学中很多指标的测量值，如身高、体重、血红蛋白、甘油三酯等近似服从正态分布。同时，一些重要的分布（如t分布）以正态分布为基础而导出。正态分布还是其他一些分布（如二项分布）的极限分布形式。应该说，正态分布是医学统计学中最重要的分布类型。
（一）正态分布
正态分布（Normal Distribution）呈现为一条单峰对称的钟形曲线，其曲线两端永远不与横轴相交。其概率密度函数为
式中，两个常数分别为π（圆周率）与e（自然常数）；两个参数分别为μ与σ2，μ为反映集中位置的总体均数，σ2为反映离散程度的总体方差。习惯上将随机变量X服从于均数为μ、方差为σ2的正态分布记作X～N（μ，σ2）。
具体地，正态分布具有以下几个特点：
①单峰对称的“钟形”曲线。
②X可取任意实数。
③μ决定正态分布曲线的峰在横轴上的位置[图9.3（a）]。当σ2恒定时，μ越大，曲线将向右平移；反之，曲线则向左平移。
④σ2决定正态分布曲线的形状[图9.3（b）]。当μ恒定时，σ2越大，曲线越“矮胖”；反之，曲线则越“高瘦”。
图9.3 正态曲线位置、形状与μ、σ2关系示意图
⑤正态曲线下的面积分布有一定规律。曲线下面积即为概率，总面积为1（概率为100%）。由正态曲线累积分布函数可知，代入横轴取值可得相应左侧尾端面积，继而可求得横轴上一些特殊界点与曲线下的面积关系，见图9.4。
图9.4 正态曲线下面积与横轴界点对应关系
（二）标准正态分布与z变换
不同的均数和方差将决定正态分布的位置和形态。因此，统计学家提出对任意一个服从正态分布N（μ，σ2）的随机变量，均可作如下的标准化变换，也称z变换（或u变换）。
经此变换得到的变量z的概率密度函数为
变换后的z值仍然服从正态分布，且其总体均数为0、总体方差为1。我们称此正态分布为标准正态分布（Standard Normal Distribution），用z～N（0，12）表示（图9.5）。
图9.5 标准正态分布的分布函数示意图
由于其位置和形态均被固定，标准正态分布曲线是唯一的一条曲线，其曲线下面积规律如下：
①曲线下横轴上的面积之和为1，即概率之和为100%；
②任意两点间的面积可由积分实现，而且统计学家已编制标准正态分布曲线下左侧尾部面积表（附表1）供读者查阅。附表1内所列数据表示z取不同值时z值左侧标准正态曲线下面积，记作φ（z）。而右侧的曲线下面积则可通过正态分布曲线的对称性获得。值得一提的是，任意一条正态分布曲线下的面积分布规律均可通过z变换公式转化后，与标准正态分布曲线下的面积相对应。
具体地，附表1中横标目与纵标目的数值都是标准正态分布曲线下横轴上的z值。横标目为z值的整数和第1位小数，纵标目为z值的第2位小数。它们交叉位点上的数值就是该z值所对应的标准正态分布的左侧尾部面积。
【例9.9】已知X服从均数为μ、方差为σ2的正态分布，请估计X取值在区间μ±1.96σ内的概率。
【解】欲求X取值在相应区间内的概率，实则求其在该区间的曲线下面积，需首先获得区间两端点所对应的标准正态分布曲线上z值。
查附表1，φ（-1.96）=0.025。由对称性可得，区间（+1.96，+∞）上的曲线下面积也是0.025，故z值取值于（-1.96，+1.96）的概率为1-2×0.025=0.95，即X取值在区间μ±1.96σ内的概率为95%。
【例9.10】已知某地健康成年男子的血清总胆固醇测量值近似服从正态分布，其μ=4.95mmol/L，σ=0.85mmol/L。试估计该地健康成年男子的血清总胆固醇测量值在6mmol/L以上者占该地男子总数的百分比。
【解】计算6mmol/L对应的z值，可得
查附表1，寻找标准正态曲线下z=1.24的右侧面积，即该地健康成年男子的血清总胆固醇测量值在6mmol/L以上者占该地男子总数的百分比。因为正态分布的对称性，可查到φ（-1.24）=0.1075，即该地健康成年男子的血清总胆固醇测量值在6mmol/L以上者占该地男子总数的10.75%。