高等数学　上第2版_高等教育

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内容提要

本书根据高等数学课程教学基本要求，结合“将数学建模思想融入数学课程中”的基本思想及作者多年的教学实践编写而成。本书在内容取材上兼顾与高中新课标数学课程的衔接，...

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前　言

“高等数学”是高等工科院校最重要的基础课程之一，它最主要的任务除了使学生具备学习后续数学课程所需要的基本数学知识外，还有提高学生应用数学工具解决实际问题的能力。...

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第一章　函数与极限

预备知识 1.常用的数学符号（1）“∃”表示“存在”；（2）“∀”表示“任意”；（3）“∈”表示“属于”；（4）“∉”表示“不属于”；（5）“A⇒B”...

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第一节　函　数

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一、函数的概念

定义1 设D是一个给定的数集，如果对于每个数x∈D，按照一定法则f总有确定的数值y与之对应，则称y是x的函数，记作y＝f（x）.数集D称为这个函数的定义域，x称...

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二、函数的初等性态

1.奇偶性设y＝f（x）的定义域D关于原点对称.如果 f （－x）＝f（x）， ∀x∈D，则称f（x）为偶函数，函数图像关于y轴对称；如果 f （－x）＝－...

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三、函数的运算

函数之间的加、减、乘、除运算称为函数的四则运算，除此之外，还可以对函数进行复合运算、反函数运算，由此可以产生更多的函数. 1.复合函数定义2 设y＝f（u）的...

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四、初等函数

1.基本初等函数在初等数学中，常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数统称为基本初等函数.它们分别是：（1）常数函数y＝C，D＝（－∞，＋...

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习题1－1

1.求下列函数的定义域. 2.已知f（x－1）＝求f（x）. 3.设af（x）＋bf，a2≠b2，求f（x）. 4.设f（x）在（－l，l）上有意义，试证明：...

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第二节　数列的极限

众所周知，半径为1的单位圆的面积为π，即圆周率，这个结果得之不易.我国古代数学家刘徽于公元263年创立了“割圆术”，该方法是借助于圆的一系列内接正多边形的面积去...

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一、数列极限的定义

如果按某个规则把无穷多个数按一定次序排成一列，即 x1，x2，…，xn，…，则称这一列数为无穷数列，简称为数列，记作｛xn｝（有时也记为xn），数列中的每一个...

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二、数列极限的性质

在讨论数列极限的性质之前，先介绍相关的定义. 定义2 对于数列｛xn｝，若存在两个常数A，B，使得A≤xn≤B （n＝1，2，…），则称｛xn｝为有界数列，其中...

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习题1－2

1.写出下列数列的前五项，观察哪些数列有极限，极限值是多少？哪些数列没有极限？（1）xn＝（－1）n；（2）xn＝（3）xn＝；（4）xn＝（－1）n＋； ...

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第三节　函数的极限

第二节讨论了数列的极限，也就是自变量是整数时的极限，这只是一类特殊类型的函数极限问题.下面就一般情况的函数极限问题分两种情形进行讨论....

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一、自变量趋于有限值时函数的极限

1.函数极限的定义首先研究当自变量x→x0时函数f（x）的变化趋向. 图1－12 考察函数f（x）＝x2＋1（见图1－12），由图可知，不论变量x从左侧还是...

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二、自变量趋于无穷大时函数的极限

如果在自变量x→∞的过程中，对应的函数值f（x）无限接近于某确定的常数A，那么称A为函数f（x）当x→∞时的极限.精确定义如下：定义3 设函数f（x）在大于某...

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习题1－3

习题1－3 1.下列说法是否正确. （1）∀ε＞0，∃δ＞0，当0＜｜x－x0｜＜δ时，｜f（x）－A｜＜2ε，则 f（x）＝A；（2）∀ε＞0，∃自然数n...

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第四节　无穷小量与无穷大量

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一、无穷小量的概念

1.无穷小量的概念定义1 设函数f（x）在点x0的某个邻域内有定义，如果对任意给定ε＞0，∃δ＞0，当0＜＜δ时，有＜ε，则称函数f（x）是当x→x0时的无穷...

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二、无穷小量的性质

为叙述方便，下面的定理中只证明x→x0的情形.定理结论对自变量的其他趋向同样成立. 定理3 有限个无穷小量的和仍为无穷小量. 证只考虑两个无穷小量的情形.设 ...

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习题1－4

1.举例说明下列叙述是否成立. （1）无穷多个无穷小量的和是无穷小量；（2）两个无穷大量的和、差是无穷大量；（3）两个无穷小量的商是无穷小量，两个无穷大量的...

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第五节　极限运算法则

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一、极限的四则运算

定理1 设在x的某种趋向下，limf（x）＝A，limg（x）＝B，则有（1）lim ［f（x）±g（x）］＝limf（x）±limg（x）＝A±B；（2）...

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二、复合函数的极限运算法则

定理4 设y＝f（u），u＝φ（x）.若 φ（x）＝a（在x0的某去心邻域内φ（x）≠a），且f（u）＝A，则复合函数f［φ（x）］在点x0的极限存在，且证...

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习题1－5

1.求下列极限. 2.确定常数a，b，使＝1. 3.求下列极限. （1）cos［ln（x2＋3）］；（2）（3），（a＞0）；（4），（a＞0）. 4...

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第六节　极限存在准则和两个重要极限

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一、极限存在准则

极限存在准则Ⅰ（夹逼定理）设数列｛xn｝，｛yn｝，｛zn｝满足：（1）yn≤xn≤zn（n＝1，2，…），（2）yn＝zn＝a，则极限xn存在，且xn＝...

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二、两个重要极限

作为极限存在准则的应用，下面来证明两个重要极限. 重要极限1 证先证时的情形.作单位圆（如图1－20所示），设圆心角∠AOB＝x 考虑0＜x＜，在A点画圆的切...

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三、柯西（Cauchy）审敛原理

极限存在准则给出了数列收敛的充分条件，柯西审敛原理将给出数列收敛的充分必要条件. 定理1 数列｛xn｝收敛的充分必要条件是：对∀ε＞0，∃N，当m，n＞N时，有...

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习题1－6

1.求下列极限. 2.求下列极限. 3.若＝e2，试求a的值（a＞0）. 4.用极限存在准则证明. 5.求下列极限：（1）设x1＝，xn＋1＝，n＝1...

《高等数学 上 第2版》简介