原函数与不定积分的概念

一、原函数与不定积分的概念

定义1 设f（x）与F（x）在区间I上有定义.若对任何x∈I，有

F′（x）＝f（x），

则称F（x）为f（x）在区间I上的一个原函数.例如，在（－∞，＋∞）上，有

则sin x与分别为cos x与x2在（－∞，＋∞）上的原函数.又如，sin x＋5与sin x都是cos x在（－∞，＋∞）上的原函数.有关原函数需解决以下两个问题：

（1）什么样的函数存在原函数？

（2）如果一个函数存在原函数，原函数是否唯一？若不唯一，不同原函数之间有何关系？

关于第二个问题，由第三章拉格朗日中值定理的推论2知，不同原函数之间相差一个常数.故只需求出函数的一个原函数，便知其所有的原函数.关于第一个问题，以下原函数存在定理给出部分回答.此定理的证明在第五章给出.

定理1 若函数f（x）在区间I上连续，则f（x）在I上存在原函数F（x），即F′（x）＝f（x），x∈I.

简而言之，连续函数一定有原函数.

由于初等函数在其定义区间上均连续，此定理保证了初等函数在其定义区间上一定有原函数.但原函数未必也为初等函数.

定义2 函数f（x）在区间I上的全体原函数称为f（x）在I上的不定积分，记作

其中，∫为积分号，f（x）为被积函数，f（x）dx为被积表达式，x为积分变量.

可见，不定积分与原函数是总体与个体的关系.若F（x）为f（x）的一个原函数，则不定积分∫f（x）dx是指函数族｛F（x）＋C｝，其中C为任意常数（称为积分常数）.此时，将f（x）的不定积分记为：

这样，前面两例便可写为：