无穷限反常积分
1.无穷限反常积分的概念
定义 设函数f（x）定义在区间［a，＋∞）内，且在任何有限区间［a，u］上可积，即定积分
f（x）dx存在，若存在极限
则称此极限J为函数f（x）在［a，＋∞）上的无穷限反常积分（或简称无穷积分），记为
此时称反常积分
f（x）dx收敛.若极限（1）不存在，则称反常积分
f（x）dx发散.反常积分发散时，记号
f（x）dx就不表示数值了.
类似地，可定义f（x）在（－∞，b］上的无穷积分
设f（x）定义在区间（－∞，＋∞）内，如果反常积分
均收敛，则称二者之和为函数f（x）在（－∞，＋∞）上的反常积分，记为
即
此时，也称反常积分
f（x）d（x）收敛；否则，若（2）中二者至少有一个积分发散，称反常积分
f（x）dx发散.
注意 反常积分（3）的敛散性以及收敛时的值与常数a的选取无关.一般选a＝0比较方便.（4）式右边为两个极限之和，
f(x)dx和
f（x）dx是两个独立的极限过程，u与v是独立变化的变量，并无函数关系，更不为相反数.
例1 讨论下列反常积分是否收敛，若求其值.
解 （1）
由无穷积的定义，有
此积分是收敛的.
（2）
此极限不存在，从而此反常积分发散.
（3）
此积分收敛.
从图5－9可看出此积分收敛的几何意义：位于x轴上方，曲线y＝
下方的图形有面积π.
图5－9
例2 证明反常积分（a＞0）当p＞1时收敛，当p≤1时发散.
证 先计算定积分
从而
因此，p＞1时，此反常积分收敛；p≤1时，此反常积分发散.
例3 求函数f（x）＝
（2－t）e－tdt在［0，＋∞）上的最大值与最小值.
解 由于被积函数连续，由微积分基本定理知f（x）可导，且
从而求得f（x）在（0，＋∞）内唯一驻点x＝
，又因为，x∈（0，
）时f′（x）＞0；x∈（
，＋∞）时，f′（x）＜0，则x＝
为极大值点.且
又
从而f（x）在［0，＋∞］上的最小值为f（0）＝0，最大值为f（
）＝1＋e－2.
2＊.无穷限广义积分敛散性的判别
由于
f（x）dx收敛当且仅当极限
f（x）dx存在，由函数极限存在的柯西准则，便可导出无穷限积分收敛的柯西准则.
定理（柯西准则） 无穷积分
f（x）dx收敛的充要条件为：任给ε＞0，存在G≥a，只要u1，u2＞G，就有
由柯西准则便可推导出如下定理.
定理 若f（x）在任何有限区间［a，u］上可积，且有
｜f（x）｜dx收敛，则
f（x）dx也收敛，并且
证 由柯西准则，任给ε＞0，存在G≥a，当u2＞u1＞G时，有
而
再由柯西准则知
f（x）dx收敛.
令u→＋∞，对
两端取极限，便有
此定理递命题不一定成立，即由
f（x）dx收敛并不保证
｜f（x）｜dx收敛.从而，当
｜f（x）｜dx收敛时，称无穷积分
f（x）dx绝对收敛.当
｜f（x）｜dx发散，但
f（x）dx收敛时，称
f（x）dx条件收敛.
对非负可积函数f（x），F（u）＝
f（x）dx是单调递增函数，从而
f（x）dx收敛当且仅当函数F（u）有上界，这样就有以下判别法.
定理（比较法则） 设f（x），g（x）为定义在［a，＋∞）上的非负函数，且在任何有限区间［a，u］上均可积，并满足
f（x）≤g（x）， x∈［a，＋∞），
则当
g（x）dx收敛时，
f（x）dx也收敛（或当
f（x）dx发散时，
g（x）dx也发散）.
证 对任何u＞a.由
g（x）dx收敛，知函数G（u）＝
g（x）dx有上界.
而
则函数F（u）也有上界，即证得
f（x）dx收敛.
推论1（比较法的极限形式） 设非负函数f（x），g（x）均在任何有限区间［a，u］上可积，且＝c，则
（1）当0＜c＜＋∞时，
f（x）dx与
g（x）dx敛散性相同；
（2）当c＝0时，由
g（x）dx收敛可推得
f（x）dx收敛；
（3）当c＝＋∞时，由
f（x）dx收敛可推得
g（x）dx收敛.（证明略）
选用
dx为比较对象，利用比较法则，可得如下推论.
推论2 设非负函数f（x）在任何有限区间［a，u］上可积，则
（1）若f（x）≤
，x∈［a，＋∞），且p＞1，则无穷积分
f（x）dx收敛；
（2）若f（x）≥
，x∈［a，＋∞），且p≤1，则无穷积分
f（ x）dx发散.
利用比较法的极限形式，又可推得以下结论.
推论3 设非负函数f（x）在任何有限区间［a，u］上可积，且
则
（1）当p＞1，0≤λ＜＋∞时，
f（x）dx收敛；
（2）当p≤1，0＜λ≤＋∞时，
f（x）dx发散.
例4 讨论下列无穷积分的敛散性.
解 （1）由于
，而
dx收敛，由比较法知
dx，绝对收敛.
（2）
x2·x5·e－x＝
＝0，此时p＝2，由推论3知
x5e－xdx收敛.
（3）
＝1，此时p＝1.由推论3知
dx发散.