n阶非齐次线性微分方程通解的结构

四、n阶非齐次线性微分方程通解的结构

命题2（线性微分方程解的叠加原理） 设y1（x）是L［y］＝f1（x）的解，y2（x）是L［y］＝f2（x）的解，则k1y1（x）＋k2y2（x）是线性方程L［y］＝k1f1（x）＋k2f2（x）的解.

证略.

推论1 设y1（x），y2（x）是L［y］＝f（x）的两个特解，则y1（x）－y2（x）是齐次方程L［y］＝0的解.

定理2 设y1（x），y2（x），…，yn（x）是n阶齐次线性方程L［y］＝0的n个线性无关的解，y＊（x）是非齐次方程L［y］＝f（x）的特解，则

y＝C1y1＋C2y2＋…＋Cnyn＋y＊

是L［y］＝f（x）的通解.

证 由命题2知

L［y］＝L［C1y1＋…＋Cnyn］＋L［y＊］＝0＋f（x）＝f（x），

即y满足非齐次线性方程（2）.

又由定理1知，C1，C2，…，Cn是n个独立的任意常数，故y是L［y］＝f（x）的通解.