定积分的元素法

一、定积分的元素法

定积分的应用中，经常采用元素法（也称微元法）.先回忆第一节中求曲边梯形面积的问题.

设f（x）≥0，且y＝f（x）在［a，b］上连续，则以f（x）为曲边的曲边梯形的面积为

若令A（x）＝f（t）dt，x∈［a，b］，则A（x）是分布在区间［a，x］上的，或者说它是区间端点x的函数，且A（b）为所求面积A.

利用分割，近似求和，取极限的思想，第i个小区间上对应的曲边梯形的面积近似为f（ζi）Δxi.实际上，是在任何小区间［x，x＋Δx］上，将A（x）的微小增量ΔA近似表示为Δx的线性形式

ΔA≈f（x）Δx，

若当Δx→0时，ΔA－f（x）Δx＝o（Δx），由微分定义知

dA＝f（x）dx，

从而以f（x）dx为被积表达式，从a到b积分，即得所求面积

这种方法称为元素法.使用时必须注意以下几点：

①所求量A关于其分布区间是可加的；

②用以直代曲的思想，近似给出ΔA的表达式，ΔA≈f（x）Δx.

但要论证ΔA－f（x）Δx是否为Δx的高阶无穷小并不是容易的事，因为此时ΔA＝f（t）dt.很难精确写出其具体表达式，往往用近似表达式代替.虽然此方法并不完全严格，但被广泛用于计算分布在区间［a，b］上的几何量和物理量.