习题6－1

习题6－1

1.试说出下列各微分方程阶数，是否为线性方程，是否为常系数微分方程.

2.指出下列各函数是否为相应微分方程的解；若是解，试判定其是否为通解.

（1）y′＝2y， y＝sin x， y＝2ex， y＝Ce2x（C为任意常数）；

（2）2xydx＋（1＋x2）dy＝0， y（1＋x2）＝C（C为任意常数）；

（3）y″＋9y＝x＋， y＝5cos 3x＋

（4）x2 y‴＝2y′， y＝ln x＋x3.

3.试求y″＋3y′＋2y＝0形如y＝erx的解.

4.验证y＝C1ex＋C2e2x＋是微分方程y″－3y′＋2y＝e5x的通解.

5.求y＝Acosαx＋Bsinαx，其中A与B是任意常数，而α为一固定常数，所满足的微分方程.

6.将积分方程tf（t）dt＝x2 f（x）＋x（其中x＞0）转化为微分方程，给出初始条件，并求函数f（x）（其中f（x）是连续函数）.

7.设f（x）＝sin x－（x－t）f（t）dt，其中f为连续函数，求f（x）满足的微分方程初值问题.

8.写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程：

（1）曲线上任一点处切线在y轴上的截距等于在同点处法线在x轴上的截距；

（2）曲线上点P（x，y）处的法线与x轴的交点为Q，且线段PQ被y轴平分.