数列极限的性质
在讨论数列极限的性质之前，先介绍相关的定义.
定义2 对于数列｛xn｝，若存在两个常数A，B，使得A≤xn≤B （n＝1，2，…），则称｛xn｝为有界数列，其中A，B分别为xn的下界和上界，否则称｛xn｝为无界数列（简称xn无界）.
有界数列还有如下的等价定义.
如果∃M＞0，对于∀n，都有
≤M，则称｛xn｝为有界数列，M称为数列｛xn｝的界.
显然，若数列｛xn｝有界，它的界不唯一.
定义3 对于数列｛xn｝，若xn≤xn＋1（n＝1，2，…），则称｛xn｝为单调递增数列；反之，若xn≥xn＋1（n＝1，2，…），则称｛xn｝为单调递减数列.
例如，｛2n｝为单调递增数列，
为单调递减数列，｛（－1）n－1｝是非单调数列.
定义4 从数列｛xn｝中任意选出无穷多项，保持原来的顺序，排列为
xn1，xn2，…，xnk，…，
由此无穷多个数构成的新数列称为原数列｛xn｝的子数列，简称为子列，记为｛xnk｝（k＝1，2，…）.此处，k表示xnk是子列中的第k项，nk表示xnk是数列｛xn｝中的第nk项.显然有，nk≥k.
特别地，数列｛xn｝也可看成是自身的一个子列.
例如，数列1，1，…，1，…是数列｛（－1）n－1｝的一个子列.
下面介绍收敛数列的性质.
1.极限的唯一性
定理1 若数列｛xn｝收敛，则它的极限唯一.
证 反证法.设数列｛xn｝的极限不唯一，则至少存在两个不同的极限值.设
不妨设a＜b，取ε＝
＞0，由数列极限的定义知，∃N1，当n＞N1时，有
即
又因
xn＝b，则∃N2，当n＞N2时，有
即
取N＝max ｛N1，N2｝，则当n＞N时，式（1）和式（2）同时成立.显然矛盾.故原假设错误，即数列的极限唯一.
2.收敛数列的有界性
定理2 若数列｛xn｝收敛，则｛xn｝有界.
证 设
xn＝a，由极限定义，取ε＝1，则∃N，当n＞N时，有
即
a－1＝a－ε＜xn＜a＋ε＝a＋1.
取M＝max｛｜x1｜，…，｜xN｜，a－1，a＋1｝，则对∀n，有｜xn｜≤M.所以数列x｛｝n有界.
3.收敛数列的保序性
定理3 设有数列｛xn｝，｛yn｝
xn＝a，
yn＝b，且自某一项起，有xn≤yn，则a≤b.
证 反证法.假设a＞b，取ε＝
＞0，则∃N1，当n＞N1时，有
即
同时，∃N2，当n＞N2时，有
即
取N＝max ｛N1，N2｝，则当n＞N时，
与已知条件xn≤yn矛盾.所以，原假设错误，即a≤b成立.
4.子列的收敛性
定理4 数列｛xn｝收敛于a的充分必要条件是｛xn｝的任一子列都收敛，且都收敛于a.
证 充分性：因为｛xn｝可看作是自身的一个子列，所以结论成立.
必要性：因为
xn＝a，故∀ε＞0，∃N＞0，当n＞N时，恒有
对｛xn｝的任一子列｛xnk｝，取K＝N，则当k＞K时，有nk＞nK≥N，此时满足
即
此结论可用来判断数列极限的不存在性，如数列｛（－1）n－1｝，它的一个子列｛（－1 ）2k－1｝：－1，－1，…，－1，…收敛于－1，而另一个子列｛（－1 ）2（k－1）－1｝：1，1，…，1，…收敛于1.它们收敛于不同的极限值，由定理4知，数列｛（－1）n－1｝的极限不存在.