无界函数的反常积分
1.无界函数反常积分的概念
定义1 设函数f（x）定义在区间（a，b］上，且在点a的任何右邻域内无界，但在任何闭区间［u，b］⊂（a，b］内有界可积，若存在极限
则称此极限为无界函数f（x）在（a，b］上的反常积分（或称瑕积分，点a为f（x）的瑕点），记为
此时，称反常积分
f（x）dx收敛；若极限（5）不存在，称反常积分
f（x）dx发散.
类似地，可定义b为f（x）的瑕点时的瑕积分
若f（x）的瑕点为c∈（a，b），且f（x）在［a，c）与（c，b］内任何闭区间上可积时，如果瑕积分
均收敛，称二者之和为函数f（x）在［a，b］上的反常积分，记为
此时，也称反常积分
f（x）dx收敛；否则若（6）中二者至少有一个发散时，称反常积分
（x）dx发散.
类似地，若f（x）的瑕点为a和b时，可定义反常积分
例5 计算瑕积分
解 x＝1为f（x）＝
的瑕点.则有
例6 讨论瑕积分
的敛散性.
解 x＝a为被积函数f（x）＝
的瑕点，由于
从而
即当0＜p＜1时，积分收敛；当p≥1时，积分发散.
类似可证明反常积分
在时收敛，在时发散dx0＜p＜1p≥1.
2＊.无界函数反常积分敛散性的判别
类似无穷积分敛散性判别，有相应的定理.
定理（柯西准则） 瑕积分
f（x）dx（a为瑕点）收敛的充要条件为：任给ε＞0，存在δ＞0，只要u1，u2∈（a，a＋δ），就有
定理 若函数f（x）（瑕点为a）在（a，b］的任一闭区间［u，b］⊂（a，b］上可积，则当
｜f（x）｜dx收敛时，
f（x）dx也收敛，并且
类似无穷积分，当
｜f（x）｜dx收敛时，称
f（x）dx绝对收敛；当
｜f（x）｜dx发散，而f（x）dx收敛时，称
f（x）dx条件收敛.
定理（比较法则） 设非负函数f（x），g（x）为定义在（a，b］上的两个函数，瑕点均为a，且均在任何［u，b］⊂（a，b］上可积，并满足
f（x）≤g（x）， x∈（a，b］，
则当
g（x）dx收敛时，
f（x）dx也收敛（或当
f（x）dx发散时，
g（x）dx也发散）.
推论1（比较法的极限形式） 设非负函数f（x），g（x）均以a为瑕点，且
＝c，则有：
（1）当0＜c＜＋∞时，
f（x）dx与
g（x）dx敛散性相同；
（2）当c＝0时，由
g（x）dx收敛可推得
f（x）dx也收敛；
（3）当c＝＋∞时，由
f（x）dx收敛可推得
g（x）dx也收敛.
推论2 设f（x）为（a，b］上的非负函数，以a为其瑕点，且在任何［u，b］⊂（a，b］上可积，则有：
（1）当f（x）≤
，且0＜p＜1时，
（x）dx收敛；
（2）当f（x）≥
，且p≥1时，
f（x）dx发散.
推论3 设f（x）为（a，b］上的非负函数，a为其瑕点，且在任何［u，b］⊂（a，b］上可积，如果
则有：
（1）当0＜p＜1，0≤λ＜＋∞时，
f（x）dx收敛；
（2）当p≥1，0＜λ≤＋∞时，
f（x）dx发散.
例7 讨论下列瑕积分的敛散性：
解 （1）x＝0为被积函数的瑕点.
又
＝1，此时p＝
，由推论3知此瑕积分收敛.
（2）被积函数只以x＝0为瑕点.x＝1不为瑕点，因为利用洛必达法则有
则被积函数在x＝1的任何邻域内不为无界函数.
又
此时p＝
，利用推论3知此积分收敛.
例8 讨论反常积分
的敛散性.
解 当α＜1时，x＝0为被积函数的瑕点；当β＜1时，x＝1为被积函数的瑕点.
①α≥1且β≥1，I与J均为定积分.
②α＜1时
当p＜1－α＜1，即0＜α＜1时，I收敛；
当1－α≥1，即α≤0时，I发散.
③β＜1时
当0＜1－β＜1，即0＜β＜1时，J收敛；
当1－β≥1，即β≤0时，J发散.
综上，只有α＞0且β＞0时，I与J均收敛，B（α，β）收敛.
这个函数称为β－函数，今后会发现它有很重要的应用.
例9 讨论反常积分
的敛散性.
解
当s≥1时，I为定积分，s＜1时，I的被积函数以0为瑕点.又
所以，当0＜1－s＜1，即0＜s＜1时，I收敛.
当1－s≥1，即s≤0时，I发散.
此时p＝2，J收敛（无论s为任何值）.
综上，只有s＞0时，I与J均收敛，从而广义积分收敛.
此函数Γ（s）称为Γ函数，与β函数一样，有着广泛的应用.
利用分部积分法可证明Γ－函数有递推公式
Γ（s＋1）＝sΓ（s） （s＞0），
反复利用递推公式，并注意到Γ（1）＝
e－xdx＝1，则对任何自然数n，有
Γ（n＋1）＝n！.
利用余元公式Γ（s）Γ（1－s）＝
（0＜s＜1）（证略），
可得Γ（
）＝
，并将（7）式中x代换为u2，有
再令s＝
，得概率中常用的泊松积分
