拉格朗日中值定理与柯西中值定理
将罗尔定理中的条件（3）去掉，考虑更一般的情形，便得到微分学中非常重要的拉格朗日中值定理.
拉格朗日中值定理 如果函数f（x）满足如下条件：
（1）在闭区间［a，b］上连续；
（2）在开区间（a，b）内可导；则在（a，b）内至少存在一点ξ，使得
拉格朗日中值定理的几何意义是：在处处可导的一段曲线上，至少存在一点，使该点处的切线平行于曲线两端点的连线（见图3－5）.
证 作辅助函数
图3－5
显然，F（a）＝F（b）＝0，在［a，b］上对F（x）利用罗尔定理，存在ξ∈（a，b），使
即
若在此定理条件中加入f（a）＝f（b），便得到罗尔定理.因此罗尔定理是此定理的特殊情形.
拉格朗日中值定理中的式（1）称为拉格朗日中值公式.拉格朗日中值公式还有以下几种等价形式，供读者在不同场合下选用：
值得注意的是，拉格朗日中值式（1）～式（4），不论a＞b还是a＜b都成立.式（1）、式（2）中的中值ξ是介于a与b之间某一定数.式（3）、式（4）中把中值ξ表示成了a＋θ（b－a）或a＋θh，不论a与b为何值，θ总为小于1的某一正数.
例3 设f（x）在［a，b］上连续，在（a，b）内可导.证明至少存在一点ξ∈（a，b），使
证 设F（x）＝xf（x）.
利用连续函数及可导函数的乘积的性质可知，F（x）在［a，b］上满足拉格朗日中值定理的条件.从而至少存在一点ξ∈（a，b），使
即
例4 证明不等式
＜ln（1＋h）＜h，（h＞－1，h≠0）.
证 设F（x）＝ln（1＋x）.
分以下两种情况：
（1）h＞0，此时F（x）在［0，h］上满足拉格朗日中值定理的条件，从而存在ξ∈（0，h），使
即
注意到0＜ξ＜h，有
则
于是
（2）－1＜h＜0，此时F（x）在［h，0］上满足拉格朗日中值定理的条件，从而存在ξ∈（h，0），使
即
注意到－1＜h＜ξ＜0，有
则
于是
例5 设f（x）在区间I上可导，且导函数有界.证明f（x）在区间I上满足李普希兹条件（存在正数M，使得对任何，x1，x2∈I，有｜f（x1）－f（x2）｜≤M｜x1－x2｜）.
证 由于f′（x）在I上有界，则存在函数M，使
｜f′（x）｜≤M （x∈I）.
任取x1，x2∈I.在区间［x1，x2］（或［x2，x1］）上利用拉格朗日中值定理，存在介于x1与x2之间的ξ，使
f（x1）－f（x2）＝f′（ξ）（x1－x2），
从而有
｜f（x1）－f（x2）｜＝｜f′（ξ）｜｜x1－x2｜≤M｜x1－x2｜.
推论1 若函数f（x）在区间I上可导，且f′（x）＝0，则f（x）在区间I上为常数.
证 任取x1，x2∈I，不妨设x1＜x2.
在［x1，x2］上利用拉格朗日中值定理，则存在ξ∈（x1，x2）.使
f（x1）－f（x2）＝f′（ξ）（x1－x2）＝0，
即
f（x1）＝f（x2），
从而知f（x）在I上为常数.
推论2 若函数f（x），g（x）在区间I上均可导，且f′（x）＝g′（x），则f（x）与g（x）相差一个常数.
证 设F（x）＝f（x）－g（x） （x∈I）.
由已知条件知F′（x）＝f′（x）－g′（x）＝0，利用推论1，F（x）为常数，即f（x）与g（x）相差一个常数.
柯西中值定理 设函数f（x）和g（x）满足如下条件：
（1）在［a，b］上均连续；
（2）在开区间（a，b）内均可导；
（3）对任何x∈（a，b），g′（x）≠0，则在（a，b）内至少存在一点ξ，使得
证 作辅助函数F（x），有
（定理条件保证分母g（b）－g（a）≠0，为什么？）
易知F（x）在［a，b］上满足罗尔定理条件，故存在ξ∈（a，b），使得
由于g′（ξ）≠0，所以有
很明显，若取g（x）＝x，式（5）即为拉格朗日中值公式.
柯西中值定理与拉格朗日中值定理有同样的几何意义，只需把曲线视为以x为参量的参量方程
图3－6
在uov平面上表示的一段曲线（见图3－6）.式（5）左端表示连接曲线两端点的线段AB的斜率，右端表示曲线上与x＝ξ相对应的一点C（g（ξ），f（ξ））处的切线的斜率，v对u按参数方程求导法则求得的导数
因此，式（1）表示弦AB与此切线平行.
例6 设函数f（x）在［a，b］（a＞0）上连续，在（a，b）内可导，则存在ξ∈（a，b），使得
证 设g（x）＝ln x，它与f（x）在［a，b］上一起满足柯西中值定理条件，于是存在ξ∈（a，b），使得
整理后便得f（b）－f（a）＝ξf′（ξ）ln
例7 设函数f（x）在a的某邻域内二阶可导，证明对充分小的h，存在θ（0＜θ＜1），使得
证 若h＞0，设F（x）＝f（a＋x）＋f（a－x），G（x）＝x2将F（x）、G（x）在［0，h］上利用柯西中值定理，存在ξ1∈（0，h），使
再设F1（x）＝f′（a＋x）－f′（a－x），G1（x）＝x，将F1（x）、G1（x）在［0，ξ1］上利用拉格朗日中值定理，存在ξ∈（0，ξ1）⊂（0，h），使得
即
由于ξ∈（0，h），则存在θ（0＜θ＜1），使ξ＝θh.
综合以上结论，便得到
对于h＜0的情况可类似讨论.