n阶齐次线性微分方程通解的结构

由n阶齐次线性微分方程的形式不难给出下列命题.

命题1 设y1（x）与y2（x）满足齐次方程（2），则C1y1（x）＋C2y2（x）也满足齐次方程（2），C1，C2是任意常数.

证 因L［C1y1（x）＋C2y2（x）］＝C1L［y1］＋C2L［y2］＝C1×0＋C2×0＝0，故C1y1＋C2y2也满足齐次线性方程.

定理1 设y1（x），y2（x），…，yn（x）是n阶齐次线性方程（2）的n个线性无关解，那么，此方程的通解为

y＝C1y1（x）＋C2y2（x）＋…＋Cnyn（x），

其中C1，C2，…，Cn为任意常数.

此定理的严格证明可参阅微分方程专著，说明如下：由命题1知y＝C1y1＋Cnyn是方程（2）的解；另外，由y1，…，yn线性无关知这n个任意常数不可能通过函数之间合并同类项而减少常数个数，即y为方程（2）含n个独立常数的解，显然为方程通解.

由前面一阶非齐次线性微分方程求解可知，其通解应由两部分构成：一部分是对应齐次方程的通解；另一部分是非齐次方程本身的一个特解.实际上，不仅一阶线性方程通解的结构如此，高阶非齐次线性微分方程的通解也具有同样的结构.