一、微分的概念
前面讨论了导数的概念与求导法则.导数是函数的增量与自变量增量之比的极限，而并非增量本身.在实际问题中，经常涉及当自变量发生微小变化时，求函数值相应的变化问题.先考察一个具体问题.
一边长为x的正方形铁片，受热胀冷缩的影响，边长会有改变.设边长的改变量为Δx，则铁片的面积S＝x2也有相应的改变量ΔS，且
ΔS＝（x＋Δx ）2－x2＝2xΔx＋（Δx ）2，
图2－4
此处，ΔS被分成两部分，第一部分2xΔx是Δx的线性函数，即图2－4中画斜线的那两个矩形面积之和；第二部分（Δx）2是关于Δx的高阶无穷小量，即（Δx）2＝o（Δx）（Δx→0），如图2－4所示网状线部分.由此知，当边长发生微小改变量Δx时，它所引起的面积的改变量ΔS可近似地用第一部分2xΔx代替，由此所产生的误差仅是（Δx）2，它与2xΔ相比微乎其微，此时
ΔS≈2xΔx.
推广到一般情形，有如下定义.
定义1 设函数y＝f（x）在某区间内有定义，当x的改变量为Δx时，若函数的改变量为
Δy＝f （x＋Δx）－f（x）＝AΔx＋o（Δx），
其中，A是x的函数而与Δx无关，则称f（x）在点x可微，AΔx是f（x）在点x的微分，记为dy或df（x），即
dy＝AΔx.
由于AΔx是Δx的线性函数，且当Δx→0时，Δy≈AΔx，称AΔx为Δy的线性主部，也就是说，dy是Δy的主要部分.
为了方便起见，规定自变量x的改变量Δx为自变量的微分，记作dx，即
dx＝Δx，
于是，函数y＝f（x）的微分为
dy＝Adx.
例1 已知圆的半径为r，面积为S＝πr2，求当半径增大Δr时，圆面积的增量ΔS及微分dS.
解 圆面积的增量为
ΔS＝π（r＋Δr ）2－πr2＝2πrΔr＋π（Δr ）2，
易知，2πrΔr是ΔS的线性主部，而π（Δx）2是Δr的高阶无穷小量，故有
dS＝2πrΔr＝2πrdr.
若函数y＝f（x）在点x可微，是否都要通过计算增量而得到其线性主部AΔx？是否还有其他方法？
定理1 函数y＝f（x）在点x可微的充分必要条件是y＝f（x）在点x可导，且有
dy＝f′（x）dx.
证 必要性.
因为函数y＝f（x）在点x可微，所以
Δy＝AΔx＋oΔ（x），
其中，A与Δx无关.上式两边除以Δx，则
两边取极限，令Δx→0，有
即y＝f（x）在点x可导，且f′（x）＝A.
此时函数y＝f（x）的微分：dy＝Adx＝f′（x）dx.
充分性.
由于y＝f（x）在点x可导，有
即
从而有
Δy＝f′（x）Δx＋αΔx＝f′（x）Δx＋oΔ（x），
式中，f′（x）显然与Δx无关，而o（Δx）＝αΔx是Δx的高阶无穷小量.由函数微分的定义知，y＝f（x）在点x可微，且
dy＝f′（x）dx.
由此可见，函数y＝f（x）在点x处可导与可微是等价的.
例2 设y＝ln（1＋2x），求dy，dy｜x＝1.
解 因为
所以
当x＝1时，
此时
