定积分在物理上的应用

三、定积分在物理上的应用

（1）引力

例10 一根长为l的均匀细杆，质量为M，在其中垂线上距离细杆a处有质量为m的一质点.试求质点对细杆的万有引力.

解 如图5－23所示：

图5-23

任取［x，x＋Δx］⊂，当Δx很小时，将［x，x＋Δx］对应的细杆看作质点，其质量d M＝dx，则它对质点m的引力为

将dF分解到x轴，y轴两个方向上，

dFx＝dF·sinθ， dFy＝－dF·cosθ.

质点在细杆的中垂线上，则水平合力为0.即

再由cosθ＝，则垂直方向上的合力为

（2）功

例11 一圆柱形贮水桶高为5m，底面半径为3m.桶内盛满水，试问将桶内的水全部吸出需作多少功？

解 如图5－24所示，在区间［0，5］内任取［x，x＋Δx］，对应一薄层水，其重力为9.8π·32·dx（kN）.将这薄层水吸出需作功为

图5－24

dW＝88.2πxdx，

于是所求的功为