习题1－9

1.函数f（x）在（－∞，＋∞）上连续，且f（x）＝A，证明：f（x）是（－∞，＋∞）上的有界函数.

2.设f（x）在（a，b）连续，且f（x）＝f（x）＝B，又存在x1∈（a，b）使f（x1）＞B，证明：f（x）在（a，b）内有最大值.

3.设f（x）在［a，b］上连续，且a≤f（x）≤b，证明：存在x0∈［a，b］，使得f（x0）＝x0.

4.证明：方程2xx＝1在（0，1）内至少有一个根.

5.证明：方程x＝asin x＋b（a＞0，b＞0）至少有一个根不超过a＋b.

6.若f（x）在［a，b］上连续，a＜x1＜x2＜…＜xn＜b，则在区间［x1，xn］上至少有一点ξ，使得

7.证明：方程x5－3x＋1至少有一个实根介于1和2之间.

8.一登山运动员早上7点开始攀登某座山峰，当天下午7点到达山顶.第二天早上7点，他从山顶沿原路下山，当天下午7点到达山脚.试用介值定理说明：这位运动员这两天在某一相同的时刻经过登山路线的同一地点.