二阶常系数线性微分方程实例
例1（振动问题） 设有一个弹簧，它的上端固定，下端挂一个质量为m的物体，当物体处于静止状态时，作用在物体上的重力与弹力大小相等、方向相反，这个位置就是物体的平衡位置，如图6－3所示.取y轴竖直向下，并取物体的平衡位置为坐标原点.推导物体以初速度v0在平衡位置上下振动时，分别不受和受竖直干扰力作用下的微分方程式.
解 设在振动过程中，物体位置y随时间t变化的函数形式为y＝y（t）.
由力学的胡克定律知，弹簧使物体回到平衡位置的弹力和物体离开平衡位置的位移y成正比，即
图6－3
其中
为弹力，k为弹簧的弹性系数，负号表示弹力方向和物体位移的方向相反.
另外，物体在运动过程中还受到阻尼介质（如空气，油等）的阻力作用，使振动逐渐消耗能量而趋于停止.这种阻力总与运动方向相反，当振动不大时，其大小与物体的速度
成正比，设比例系数为μ，则阻力fμ满足
由上述受力分析，按牛顿第二定律得
移项整理，并记
＝p
＝q.上式化简为
这就是物体不受外力干扰，但在有阻尼的情况下，物体自由振动的微分方程.
若物体在振动过程中还受到竖直干扰力F＝F（t）的作用，则按牛顿第二定律有
若记
则方程化为
这就是物体强迫振动时的微分方程.
注意 方程（1）和方程（2）的系数p和q与时间t无关，称它们是常系数线性微分方程.
下面再解决一个电路的问题.
例2 如图6－4所示是含有自感L、电阻R与电容C（其中R，L和C是常数）的闭合电路，接入电动势E＝E（t）的电源，推导电路中任何时刻电流i（t）的方程式.
图6－4
解 由基尔霍夫第二定律知，回路电压降的代数和等于接入回路的电动势.
电流在电阻上的电压降为Ri，电流在电容上的电压降为
Q（Q为电容器两极板间的电容量），电流在电感上的电压降为L
于是，有
为消去方程中的电容量变量Q，利用
＝i，可将上式两端对t求导，得
令p＝
＝f（t），得到i＝i（t）的微分方程
上述三个方程（1）、（2）和（3）的共同特点是二阶常系数线性方程.求解此类方程对进一步研究物理和电路问题不可或缺.更复杂的实际情况留在数学物理方程课中继续讨论.
下面首先讨论二阶常数齐次线性方程的解法.