习题3－1

习题3－1

1.（1）用反证法：

令f（x）＝x3－3x＋C，若方程有两个不同的实根x1，x2∈［0，1］，x1＜x2，则f（x1）＝f（x2）.在［x1，x2］上利用罗尔定理，则存在ξ∈（x1，x2）∈（0，1）使f′（ξ）＝0.但f′（x）＝3（x2－1）＝0只有实根x＝－1与x＝1.矛盾.

（2）令f（x）＝xn＋px＋q.

2.将f（x）在区间［1，2］，［2，3］，［3，4］上分别利用罗尔定理.至少存在三个根.

3.将f（x）＝a0xn＋a1xn＋…＋an－1x在［0，x0］上利用罗尔定理.

4.将F（x）先在［a，b］上第一次利用罗尔定理，则存在ξ1∈（a，b），使f′（ξ1）＝0.再将f′（x）在［a，ξ1］上第二次利用罗尔定理，则存在ξ∈（a，ξ1）⊂（a，b），使F″（ξ）＝0.

5.将F（x）＝［f（x）－f（a）］·［g（b）－g（x）］在［a，b］上利用罗尔定理.

6.（1）将f（x）＝ln x在［a，b］上利用拉格朗日中值定理.

（2）对f（x）＝arctan x在［0，h］上利用拉格朗日中值定理.

7.（1）将f（x）－arctan x在a，b之间的闭区间上利用拉格朗日中值定理.

（2）对f（y）＝ey在［1，x］上利用拉格朗日中值定理.

8.将f（x）在［a，c］与［c，b］上分别利用拉格朗日中值定理.

9.将f（x）分别在［a，c1］，［c1，c2］，［c2，b］上利用拉格朗日中值定理.再对f′（x）利用拉格朗日中值定理.

10.设F（x）＝xf（x），G（x）＝－，在［a，b］上利用柯西中值定理.

11.将f（x）＝，g（x）＝在［x，x］上利用柯西中值定理.12

12.先对f（x）及g（x）＝在［a，b］上利用柯西中值定理，再对f（x）在［a，b］上使用拉格朗日中值定理.