n阶常系数齐次线性方程通解的求法

三、n阶常系数齐次线性方程通解的求法

上面求解二阶常系数齐次线性方程的方法可以推广到n阶方程的情形.

设有方程

其中系数p1，…，pn皆为常数.设有y＝erx类型特解，代入方程（6）后，可得其相应的特征方程为

由代数基本定理知，在复数域中方程（7）有几个根（包括重根数）.

特征方程（7）的每一个根都对应于方程（6）的一个解.

下面给出不同特征根与微分方程解之间的对应关系.

根据上表可写出高阶常系数齐次线性微分方程的通解.

例4 解方程y（4）＋2y″＋y＝0.

解 对应的特征方程为r4＋2r2＋1＝0，即（r2＋1）2＝0，所以，r1，2＝±i为二重复根.故所对应微分方程的通解为

y＝C1cos x＋C2xcos x＋C3sin x＋C4xsin x，

其中C1，C2，C3和C4为任意常数.

例5 已知－1和i分别是常系数齐次线性微分方程特征根的单根和二重根，求满足条件最低阶的线性微分方程.

解 由于要求方程是常系数齐次线性微分方程，故与i共轭的－i也是二重复根，因此微分方程的特征方程为

（r＋1）（r－i）2（r＋i）2＝r5＋r4＋2r3＋2r2＋r＋1＝0，

于是所求方程为

y（5）＋y（4）＋2y（3）＋2y″＋y′＋y＝0.