第二节　泰勒公式

第二节　泰勒公式

人们希望一个复杂的函数可以由简单的函数来逼近，多项式函数是较简单的函数，用多项式函数逼近其他函数是近似计算和理论分析的一个重要内容.泰勒定理就是讨论一个一般的函数与多项式函数之间的联系.

先考察任一n次多项式

逐次求它在x0的各阶导数，得到

即

由此可知，多项式P（x）的各项系数由其在x0的各阶导数值唯一确定.

对于一般的函数f（x），如果它在x0点存在直到n阶导数，由这些导数构造一个n次多项式

称此多项式为f（x）在点x0处的泰勒（Taylor）多项式，Tn（x）的各项系数（k＝0，1，2，…，n）称为泰勒系数.由上面对多项式的讨论易知f（x）与其泰勒多项式Tn（x）在点x0有相同的函数值和相同的直至n阶导数值，即

下面的泰勒公式给出f（x）与Tn（x）的关系.