型不定式的极限

一、 型不定式的极限

定理1 若函数f（x）和g（x）满足：

（1）f（x）＝g（x）＝0；

（2）在点x0的某去心邻域（x0）内二者均可导，且g′（x）≠0；

（3）＝A（A可为实数，也可为±∞或∞）；

则

证 补充定义f（x0）＝g（x0）＝0，这样f（x）与g（x）均在x0连续.任取x∈U（x0）（不妨设x＞x0），在区间［x0，x］上应用柯西中值定理，存在ξ∈（x0，x），使

注意到x→x0时，也有ξ→x0，从而有

注意 将定理中的x→x0换成x→，x→也有同样的结论.若将x→x换成x→0±∞或x→∞（相应地修改条件（2）的邻域），只需利用变换x＝，也可得到同样的结论，证明过程由读者自行完成.

例1 求极限

解 这是型不定式极限.设f（x）＝1＋cos x，g（x）＝tan2 x.

因为

由洛必达法则知

例2 求极限

解 这是型不定式极限，可利用两次洛必达法则计算如下：

例3 求极限

解 这是型不定式极限，可连用三次洛必达法则计算：

或利用一次洛必达法则计算：

洛必达法则有时与等价无穷小代换、重要极限、泰勒公式等重要求极限方法结合使用，效果会更好.

例4 求极限

解 这是型不定式极限.如果直接利用洛必达法则分母的导数较烦琐.若用x代替其等价无穷小sin x就方便多了.

例5 计算极限

解 这是型不定式极限.用洛必达法则得

此时仍为型不定式极限，可继续利用洛必达法则计算（读者自行完成），下面用泰勒公式来

计算.因

从而