常系数线性微分方程组解法

一、常系数线性微分方程组解法

在研究某些实际问题时会遇到由几个微分方程联立起来共同确定几个具有同一自变量的函数的情形.这些联立的微分方程称为微分方程组.

若微分方程组中的每一个微分方程都是常系数线性微分方程，那么这种微分方程就是常系数线性微分方程组.

对于常系数线性微分方程组，可以用下述方法求它的解.

（1）从方程组中消去一些未知函数及其各阶导数，得到只含有一个未知函数的高阶常系数线性微分方程.

（2）解此高阶微分方程，求出满足该方程的未知函数.

（3）把已求得的函数代入原方程组.一般而言，不必经过积分就可求出其余的未知函数.

例1 解微分方程组

解 这是含有两个未知函数y（x），z（x）的由两个一阶常系数线性方程组成的方程组.

消去未知函数y，由（2）式得

对（3）式两端关于x求导得

把（3）式和（4）式代入（1）式并化简，得

为一个二阶常系数线性微分方程.

求得其通解为

再把（5）式代入（3）式可得

故（5）式和（6）式即为原方程组的通解.