六、典型教学案例
案例1 导数概念
1.知识点
导数概念。
2.思政目标
在本教学案例中，不仅引导学生体会数学的符号美，还通过讲述莱布尼茨的符号思想深受中国文化的启发，让学生切身感受中国文化为人类的进步所做出的贡献，激发学生的民族自豪感，更激发学生传承发展中国文化的历史责任感。
3.教学过程
首先，介绍问题背景。导数概念的形成与几何里的任意曲线的切线斜率问题、物理里的变速直线运动物体的瞬时速度问题有密切的关系。
几何问题背景：任意曲线的切线斜率问题。建立直角坐标系，函数的图形为曲线：
分析切线的定义，就得出曲线上任一点处的切线的斜率为：
割线斜率的极限就是切线的斜率，（1）给出了求任意曲线上点x0处的切线斜率方法。
其次，导数概念的建立。从问题背景里抽取出数学元素，由上述讨论知，切线的斜率归为如下数学形式：
（2）此处的x-x0和f（x）-f（x0）分别是函数的y=f（x）自变量的增量Δx和函数的增量Δy；
式（2）写成：
由它们在数量关系上的共性，就得出函数的导数的概念。
导数的定义：定义1设函数y=f（x）在点x0的某个邻域内有定义，当自变量x在x0处取得增量Δx（点x0+Δx仍在该邻域内）时，相应地函数y取得增量Δy；如果Δy与Δx之比当Δx→0时的极限存在，则称函数y=f（x）在点x0处可导，并称这个极限为函数y=f（x）在点x0处的导数，记为f′（x0），即
上述简明的导数符号由莱布尼茨创立。
导数的本质意义：在实际中，需要讨论有不同意义的变量的变化“快慢”问题，在数学上就是函数的变化率问题。导数概念就是对函数变化快慢程度的精确描述。
从反思、提升数学思想、符号方法方面来分析。
教师解说：同学们在中学时对导数的符号只知道f′（x）或y′， 但今天我们看到了导数的另一套符号
，这个符号是莱布尼茨300多年前创立的，沿用至今，无人超越。用
表示导数，一是直接体现导数的定义：
，二是清楚表明因变量y对自变量x的导数，更重要的是后继学习微分之后，我们将看到这个符号可直接看成是微分之商，简称微商，在这层意义上，我们将直接利用
迅捷推出更多形式的函数的导数公式，如反函数、参数方程表示的函数。可见一个好的数学符号是符合美学标准的，简洁、抽象、应用便捷。
莱布尼茨作为著名的符号学家，不仅创立了如此优美的微积分符号，还提出了通用符号、通用语言的构想，他的通用符号思想是最早的数理逻辑思想，而他这一思想的一大灵感来源于中国的汉语言文字的书写结构和表意特征。当莱布尼茨从传教士那里了解到中国文化，作为百科全书式大学者的他对中国文化赞叹不已。他研究伏羲八卦图，创立了二进制。他是在欧洲最早传播中国文化的学者之一，为东西方文化交流做出了重要的贡献。而作为一个拥有如此灿烂文化的中国人，我们应该不仅感到骄傲，更要有发扬光大我们传统文化的历史责任感。
4.学习资源
①同济大学数学系编：《高等数学》 （上册，第6版），高等教育出版社2007年版；
②郑毓信：《数学教育哲学》，四川教育出版社2001年版；
③黄翔：《数学教育的价值》，高等教育出版社2004年版；
④ [美]加勒特·汤姆森：《莱布尼茨》，李素霞、杨富斌译，中华书局2002年版；
⑤赵晓春主编：《莱布尼茨》，上海交通大学出版社2009年版。
案例2 拉格朗日中值定理
1.知识点
拉格朗日中值定理的发现和证明。
2.思政目标
通过对拉格朗日中值定理与罗尔中值定理的对比分析，让学生感受拉格朗日创造和创新的源起。引入数学史创立非欧几何的案例，激发同学们敢于质疑、大胆猜想的创新精神。同时通过数与形的结合，让学生领悟如何成功运用数学里的重要方法——构造法。
3.教学过程
首先，复习罗尔中值定理。
定理1（罗尔中值定理）：如果函数f（x）满足：①在闭区间 [a，b]上连续；②在开区间（a，b）内可导；③在区间端点的函数值相等，即f（a）=f（b）。
那么在（a，b） 内至少有一点ξ∈（a，b），使得f′（ξ）=0（如图1）。
图1
其次，引入新课，提出问题。罗尔中值定理中f（a）=f（b）这个条件很特殊，它使罗尔中值定理的应用受到限制。如果把f（a）=f（b）这个条件取消，但仍保留其余两个条件，那么会出现什么新的结论呢？
图2
再次，分析、探讨问题。分析问题：观察图2，有切线平行于割线AB，这个新的发现正是拉格朗日中值定理。
定理2（拉格朗日中值定理）：如果函数f（x）满足：①在闭区间 [a，b]上连续；②在开区间（a，b）内可导，那么在（a，b）内至少有一点ε（a＜ε＜b），使等式f（b）-f（a）=f′（ε）（b-a） 成立。 如何证明？
探讨：拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广。而罗尔中值定理已经得到证明，如果能够在图2找到一个新的变量，其满足罗尔中值定理，则可将未知转化为已知。
复次，证明定理。
定理的证明：构造辅助函数
，可得g（a）=g（b），又因为g（x）在 [a，b]上连续，在开区间（a，b）内可导，所以根据罗尔中值定理可得必有一点ε∈（a，b）使得g′（ε）=0，由此可得
，变形得 f（b）-f（a）=f′（ε）（b-a），定理证毕。
总结上述定理的证明过程，函数g（x）的构造是亮点，是实现未知情形转化为已知情形的关键。g（x）的构造表现出拉格朗日作为欧洲大数学家的创造力和创新精神。
最后，反思、提升数学思想、创新方法。
解说：罗尔中值定理的第三个条件f（a）=f（b）很苛刻，那么把这个条件去掉，拉格朗日就有了创新。在证明过程中，拉格朗日运用重要的证明方法——构造法，构造出一个潜在的函数g（x）， 实现未知情形转化为已知情形。这又是拉格朗日的一个创造。
改变或者削弱前提条件是数学里发现新成果的重要方法。数学史上非欧几何的创立，正是数学家质疑欧氏几何的第五公设（平行公理），继而改变此公设而创立的新的几何学。
大胆质疑、大胆突破陈规，是创造、创新的源起。同时数形结合的分析可为我们成功运用构造法带来思维灵感。
4.学习资源
①同济大学数学系编：《高等数学》 （上册，第6版），高等教育出版社2007年版；
②郑毓信：《数学教育哲学》，四川教育出版社2001年版；
③黄翔：《数学教育的价值》，高等教育出版社2004年版；
④ [美]比尔·伯林霍夫、费尔南多·辜维亚：《这才是好读的数学史》（原书第2版），胡坦译，北京时代华文书局2019年版。
案例3 定积分的概念
1.知识点
定积分的概念。
2.思政目标
在学习定积分概念的同时让学生领悟唯物辩证法在微积分里的运用，深刻理解矛盾的对立统一规律是揭示物质运动变化的根本规律，让学生体会运用矛盾对立统一的相互转化的辩证法思想获得思考世界、认识世界、改造世界的真知，从而让辩证唯物主义成为学生今后学习、工作、生活的指导思想。
3.教学过程
首先，复习函数的本质就是变量、函数连续性的增量式定义及其与无穷小的关系：
。
其次，引入新课，提出问题。画出直边图形，面积问题用面积公式解决；画出曲边梯形图形，如何求面积？
设函数y=f（x）在区间 [a，b]上非负、连续，由直线x=a、x=b、y=0及曲线y=f（x）所围成的图形称为曲边梯形，其中曲线弧称为曲边（如图3）。
图3
引导学生思考：新的面积问题与直边图形的面积问题不同之处是什么？（不同之处在于常量与变量。）
再次，分析、探讨问题。
分析问题：当因变量的变化呈无穷小时，变量数学问题暂时转化为常量数学问题，曲边梯形暂时转化为直边图形，这样面积问题从未知情形转化为已知情形。
复次，解决问题。根据如上分析，先将自变量的变化置于无穷小的状态，因此有如下的求解步骤：
第一步：把自变量所在的区间划分成n个小区间，并保证每个小区间的宽度Δxi呈无穷小（如图4）；
图4
第二步：观察图4，小区间对应的小曲边梯形，其面积近似一个矩形面积， 即 ΔAi≈ f（ξi）Δxi；
第三步：将上述n个小面积进行整合、累加，得到所求面积的近似值，即
；
第四步：在每个小区间宽度呈无穷小的前提下，对上述近似值取极限，极限值则为所求曲边梯形的面积，即
。 其中 λ =max（Δx1，Δx2，……Δxn）。
总结上述解决面积问题的四个步骤，抽象出定积分定义，并展示定积分的数学符号：
。
最后，反思、提升数学思想、辩证法思想。如上的四个步骤，每一步都可提炼出经典的数学思想方法，且每一步都体现着辩证法思想——矛盾对立统一相互转化。
第一步：把大化小，化整为零（整体转化为部分）；
第二步：以直代曲，取近似值（曲线转化为直线，变量转化为常量，未知转化为已知，运动转化为暂时静止）；
第三步：累加作和，化零为整（部分回归到整体）；
第四步：取极限，变量在极限状态下，从暂时的静止到绝对的运动变化中，实现从近似值逼出精确值（近似转化为精确，暂时的静止回归到绝对的运动）。
提问：上述对立面的转化是在无穷小的状态下产生，为什么在无穷小的状态下，运动变成静止，曲线变成直线，纷繁复杂的现象变得简单明了？
解说：这是因为无穷小本身就是一个运动变化的量，这个变量刻画了自变量的量变导致因变量的质变，而实现量变到质变的过程就是矛盾对立统一相互转化的过程。
总结提升：微积分的创立是数学思想方法的应用，更是唯物辩证法的具体应用和体现，这为同学们深刻理解唯物辩证法提供了生动的范本。
4.学习资源
①同济大学数学系编：《高等数学》 （上册，第6版），高等教育出版社2007年版；
②郑毓信：《数学教育哲学》，四川教育出版社2001年版；
③黄翔：《数学教育的价值》，高等教育出版社2004年版。