二、课例展示
杨振宁先生曾指出：“中国学生普遍学习成绩出色，特别在运算和推理方面比国外学生有明显优势，但中国学生最大的缺憾，就是不善于提出问题，缺乏创新精神。”选拔具有创新能力的学生，是强基的初衷，于教师而言，也要努力将创新人才的培养作为教学的追求。培养学生的创新能力，一条有效的途径是创设合适的情境，让学生学会提出有意义的问题，在教师的引领下，主动探索，深入研究，就好像通过一道门户，把学生引入到一个完整的理论领域。
2.1问题提出
正方体是学生最熟悉的几何体，用一个平面去截正方体，截面的形状会是什么样的呢?
这是一个开放度很高的问题，入口宽，不同层次的学生都能去尝试。活动伊始，我就将这个问题抛给学生，留一定的时间让他们自行思考。独立思考是深度学习的必由之路。对于优秀的高中生而言，必须想方设法地提供好的问题，留有充足的时间让他们独立思考。只有这样，才能有效地提升他们的思维水平，优化他们的思维品质。
2.2问题初探
片刻后，我让学生汇报他们的思考结果，三角形、四边形、五边形、六边形、矩形、正方形、正六边形等等……学生或回答一个，或回答几个。学生展示他们画出的图形，我要求他们还需说明理由。直观想象、逻辑推理是我们数学学科的两大核心素养，在空间想象的基础上，必须提出严谨性要求，让学生养成凡事说理由讲道理的习惯。
我继续追问：能不能是七边形？学生异口同声回答不能，我让学生说明理由后，进一步问：八边形呢？
其实截面多边形最多是六边形，我希望通过一系列的追问将学生的思维引向深处，更加贴近问题的本质。
学生汇报的各种结果中，不少图形间有交叉或从属关系，如正方形是特殊的矩形。对纷繁复杂的结果进行归纳整理也是优秀的思维习惯。我让学生以同桌为小组，整理成表格，片刻后让学生展示成果。学生整理的表格中，第一列几乎都是截面为三角形、四边形、五边形、六边形，第二列就有差异了，三角形部分有人写锐角三角形、等边三角形、直角三角形，四边形部分有人写矩形、正方形、梯形等，五边形部分几乎都空着。
2.3成果汇总
创新能力的提高是需要学习的。那么，谁才是最好的老师呢？我认为，古今中外的千百位科学大师才是最好的老师。在人类的文化遗产中，最为弥足珍贵的就是这些科学大师们的足迹——他们创造和发现知识的过程。这是极富创造性和启发性的，是人类文化宝库的极品。门捷列夫的元素周期表是学生所熟悉的，它就是归纳整理后再获得发现的典范。我鼓励学生追踪大师的足迹，遵循他们的研究思路，进一步深入研究已经填好的表，从已有的表格信息中去合情猜想，发现新的内容。
学生或交流合作，或独立思考，十分钟后我让他们发言汇报。对于教师而言，一定要相信学生，决不能轻易地操办代替，越俎代庖，那是培养创新人才的大忌。很多老师喜欢帮学生总结、归纳，平心而论，能帮着学生做出完善总结的已经是很敬业的老师了，然而这实在是“死记硬背、勤学苦练”的一个典范。由此培养出的学生可能少了一点独立性，少了一点创新精神，少了一点叱咤风云的气魄。
汇报的结果整理如下：(https://www.daowen.com)
当截面是三角形时，这个三角形必为锐角三角形，不可能是直角三角形；这个锐角三角形可以是一般三角形，也可以是等腰三角形或等边三角形。
当截面是四边形时，这个四边形至少有一组对边平行，截面四边形可以是菱形，也可以是梯形、矩形，更进一步的可以是正方形；当截面是梯形时，可以是等腰梯形，但不可能是直角梯形。
以上的结果在学生的讨论、交流、质疑、补充中一点点的形成、完善。我不仅要求学生能提供具体的图形，还要求必须说明理由。很多学生有很好的直观想象能力，但缺乏思维的严谨性；有的同学能讲道理，但缺乏表达的条理性和简洁性，因此对于任何一次培养学生关键能力、核心素养的契机我们都不能轻易放过。
当截面是五边形的时候，学生在表达上出现了困难。经过讨论，我们形成的统一共识是截面五边形的两组对边分别平行。我提醒学生，不仅可以关注边，也可以去关注角。教师的作用不仅仅是知识的告知，也有遇到困难时的合理提醒，适当点拨，及时帮扶。学生很快发现截面是五边形时必有两个角相等。在前面研究的启发下，有学生提出问题：能不能是正五边形呢？启发学生自行提出逐渐深入的问题，引导学生进行更加深刻的思考，我想是教师责无旁贷的责任，也是强基选拔的人才的要求。最后形成结论：当截面是五边形时，必有两组对边平行、两组对角相等，但不可能是正五边形。
有了前面的探索经历，对于截面六边形，学生们很快得到结论：三组对边分别平行、三组对角分别相等，可以是正六边形。因为是强基培训，所以必要的知识补充还是很有必要的，我抓住时机趁势跟学生介绍了等角六边形的概念，学生们很快发现正方体的截面是六边形时一定是等角六边形。
2.4问题再探
如果是普通的学生，我们的探索可以到此为止，但对于将参加强基的优秀学生，我们还需进一步引导他们的思维“向青草更青处漫溯”。
对于给定的正方体，截面六边形一定是等角六边形，那么其中面积最小或最大的是多少呢？有没有一个范围？在探索的过程中，学生还发现，如果截面六边形始终保持与体对角线垂直，其周长保持不变。“无意带将花一朵，却挑蝴蝶下山来”，无序的运动中蕴藏着静态的结果，这种深刻数学之美对心灵的震撼是让学生保持长久兴趣、积极探索的最佳动力。教学不仅要教知识，还要教思维，更要教思维方式，这对创新人才的培养是极其重要的。由此及彼，学生自然会联想到对于三角形截面、四边形截面、五边形截面，它们又有什么样的范围变化，在变化中有没有某种定值。更一般的，所有这些截面多边形中，彼此之间相互比较，面积或周长何时最大？何时最小？由正方体类比到平面图形，迁移到其他几何体，又有什么相应的结论呢？当想象的通道打开，一串串问题宛如“千树万树梨花开”，有如此问题意识的学生，这才是强基所需的人才吧！联想、类比、归纳及推广等等，这些科学思想方法的学习，正是学生学习研究和创新的开始，也是学习研究和创新的必由之路。
波利亚说过：“当我们成功地解决了一个好问题之后，我们应当寻找更多的好问题。好问题同某些蘑菇有些相像，它们都成堆地生长，找到一个以后，你应当在周围找找，很可能在附近就有好几个，”作为教师，我们要善于抛出一株蘑菇，引导学生寻找一群蘑菇，这样才能最终提高学生的思维水平和创新思维能力，达到“鹰击长空，鱼翔浅底”的境界，实现由必然王国向自由王国的跨越.
2.5链接考题
更有趣的是，与此相关的高考题、竞赛题、自主招生题俯拾皆是。比如2018年全国卷高考填空压轴题，用大家能懂的语言表述就是：对于棱长为1的正方体，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，求截此正方体所得截面面积的最大值；又如一道2010年辽宁预赛题，用通俗语言表述为：若正方体的棱长为1，求与正方体对角线垂直的最大截面面积；2005年高中联赛题：任作平面α与对角线垂直，使得α与正方体的每个面都有公共点，问这样得到的截面多边形的面积、周长如何变化？
这又使我不由得联想到2021年北京大学强基笔试的一道题：有三个给定的经过原点的平面，过原点作第四个平面α，使之与给定的三个平面形成的三个二面角均相等，则这样的平面α有多少个？此题与前面的问题并无关联，但我相信经历过前面的探索过程，学生已具备了解决这道题相应的能力，遇到这道貌似新颖的问题时已经完全可以驾驭。题海无涯，从有限个问题的解决中积累经验，获得解决无数个问题的方法和能力于学生的发展而言，可能更有意义，更有价值。