14.14 对角线乘积和
1996年6—10月，挚友列支敦士登高等中学（Liechtenseinisches Gymnasium）的比克尔先生（Bicker，Paul，1939—2001），在苏州大学访问期间，发现并证明大衍求一术一个极有价值的内在性质：对角线乘积和性质。
在大衍求一术的每一张筹算小图中，右上角和左下角相乘的积，加上右下角和左上角相乘的积，其和恰好等于入算时布在第一小图右下角的数。
这一性质在第一张小图中成立，因为左下角是0；在最后一张小图中也成立，因为右下角是0。
下面用具体数据展示，数据选自秦九韶的“推计土功”题，解k·20≡1（mod 27），求出乘率k=23。（原为k·3800≡1（mod 27），因20≡3800（mod 27），而改用等价的20。）
下图（图14.4）共分成四列。右列第一列，上面五小图按大衍求一术计算，第六小图进一步运算，得到左下角数等于第一小图右下角数，相应于秦九韶讲的“蔀率即朔率”。右起第二列是相应商数。第三列是筹算板上四数的文字表示。第四列是相应的对角线乘积和的证明，n是除法次数。
图14.4 对角线之和恒等的示意图
证明 第一小图中，显然有1×a+0×g=a。
令c1=q1，c2=1+q2c1，c3=c1+q3c2，…，ci=ci-2+qici-1，…。
对n=1，c1g+1×r1=q1g+r1=a。
对n=2，c2r1+c1r2=（c1q2+1）r1+c1r2=c1q2r1+r1+c1r2=c1（q2r1+r2）+r1=c1g+r1=a。
对n=3，c3r2+c2r3=（c2q3+c1）r2+c2r3=c2q3r2+c1r2+c2r3=c2（q3r2+r3）+c1r2=c2r1+c1r2=a。
一般说来，对n=i，ciri-1+ci-1ri=ci-1ri-2+ci-2ri-1=…=c2r1+c1r2=a。
因此，对于所有按照大衍求一术所绘的算图，包括第一小图，如果我们把大衍求一术第一小图左下角写上0的话，这个性质都成立。
现在考虑运算结尾部分的情况。在满足条件rn=1后的再进一步计算，会使rn+1=0。满足rn=1之后，cnrn-1+cn-1rn=cnrn-1+cn-1=a。
再进一步，rn+1=0，有
(cnrn-1+cn-1)rn+cnrn+1=cnrn-1rn+cn-1rn+cn×0=cnrn-1rn+cn-1rn
=cnrn-1+cn-1=a。
这里的内容由比克尔先生在International Congress of Mathematicians（Berlin，1998.8）做过发言。
1998年10月4日，数学史国际学术研讨会在武汉华中师范大学召开。来自北京大学、北京师范大学、辽宁师范大学、西北大学、湖北大学、香港大学等30余所院校及中国科学院自然科学史所、数学所等科研机构的代表，还有日、法、英、德、荷、丹、意等国代表，汇集于华中师范大学的科学会堂，共同探讨、交流数学史。比克尔先生在本次研讨会上也做过发言[20]。