12.6.1　高斯原文

关于求出所有的数，它们对于任何数量的已知模具有已知余数的这样一个问题，很容易从我们已经看到的过程中得到解答，并将证明在后面是非常有用的。令A，B为已知模。对于这些已知模A，B，我们寻找能分别同余于a，b的数z。z的所有这些值具有形式Ax+a，这里x是任意整数，从而使得Ax+a≡b（mod B）。现在如果A，B的最大公约数是δ，同余式的全部解就有形式x≡v（mod B/δ），或者类似地，x=v+（k B/δ），k是任意整数。这样，公式Av+a+（k AB/δ）会包括所有的z值，即z≡Av+a（mod AB/δ）会是问题的全部解。如果对于模A，B，加上第三个模C，据此模，z≡c，显然，我们以同一个过程处理，因为先前的两个条件合并成一个条件。所以，如果AB/δ，C的最大公因数是e，如果同余式（AB/δ）x+Av+a≡c（mod C）的解是x≡w（mod C/e），那么问题会由同余式z≡（ABw/δ）x+Av+a（mod ABC/δe）完全解决。我们观察到AB/δ，ABC/δ分别是数A，B和A，B，C的最小公倍数，容易确立，不管多少模，如A，B，C等，如果它们的最小公倍数是M，全部解就具有形式z≡r（mod M）。但当辅助同余式中没有一个可解时，我们的结论是这个问题含有不可能性。但显然当数A，B，C等两两互素时，这不可能发生。

例：令数A，B，C，a，b，c为504，35，16，17，-4和33。这里两个条件z≡17（mod 504）和z≡-4（mod 35）等价于一个条件z≡521（mod 2520）；增入条件z≡33（mod 16）。我们最后得到z≡3041（mod 5040）。

同一个量，除以不互素多个模，得到多个余数，构成一次同余式组：

z≡17(mod 504)≡-4(mod 35)≡33(mod 16),

解出z≡3041（mod 5040）。