11.2.1 解法分类
不定方程与同余式等价合称不定分析式。
介绍不定分析式解分类之前，先划分一下数的范畴和式的范畴。
1 数的范畴
整数对a，b，属于数的范畴。
整数对现象中，辗转相除各量错综，序列值计算繁杂，都属于整数范畴。
两个整数，前一除法的除数、余数，转换为后一除法的被除数、除数，形成迭代。
反复进行迭代，形成辗转相除。迭代是辗转相除法的灵魂。
随着辗转相除的进行，带余除法的商（q）的含义也会逐渐变化，从除数（b）的倍数、除数（b）个数的统计值，直到前除数（b）对后除数（r1）的近似折算率。
迭代过程中除数个数的累积统计值，称作序列。
序列的本原，是二除法的除数1。中国人称为天元一。
2 式的范畴
以整数对a，b作系数，添加上常数c，形成二元一次不定方程，相关的一次同余式，都属于式的范畴。
辗转相除过程中，被除数和除数，连同参与辗转相除的常数、所引入的新变量，可整理成一系列不定方程。系数随着辗转相除而逐步缩小，即系数不断下降，形成一系列降系数不定方程。
可以这样定义：迭代后形成的不定方程是迭代前不定方程的降系数不定方程。
这些降系数不定方程之间，常数前正负号交替，常数的绝对值不变。
3 解法分类
最有趣的解法是杜德利（Dudley，U.）《基础数论》中的原路折返解法。从辗转相除所得最大公约数出发，回过头来，直接用各个辗转相除的数据，一步步消去。最后，形成最大公约数，与原整数对x，y乘积之差。再与原最大公约数式子比较，就得到x值和y值。
求解法主要分成两大类。
第一大类，限定常数为1，利用两系数的序列值解法，再利用解的依赖性，扩展到一般不定分析式。
传统历法流行千年的大衍求乘率术，和1801年高斯的不定分析序列值解法，都属于序列值解法。
1247年的大衍求一术，直接限定常数为1。
第二大类，把两系数与常数一并考虑，分成三个阶段。
第一阶段，依靠辗转相除。第二阶段，到某个式子，我们称取解式，求出一个初步的解，称初解。第三阶段，把初解回代，得到原不定方程的解。
6世纪印度婆罗摩笈多的恒值粉碎机解法实行两次辗转相除，保证得到自然余数1。约定不定方程附加数的表达，利用余数1除法，构造取解式。所得附加数为1的不定方程的解，称恒值粉碎机。再利用依赖性，求出附加数非1的不定方程的解。
1208年开禧历“闰赢，却与闰缩、朔率、元闰，列号甲乙丙丁四位，除乘消减，谓之方程”，所列算图中，闰赢存在的理由就是帮助朔率在筹算板上占位，形成等式多行，以便让筹算板起到运算中的代换变量符号作用。因此，属于未知数代换的不定方程整数解法。
1624年，巴歇提出：求不定方程Ax=By+J的解，依赖于Ax=By+1的解，这里A和B是任何互素的整数。
原文第一句“[即，要解Ax=By+J]，只要解出Ax=By+1就可以了”，就强调了解的依赖性。巴歇解法也分成三段。两系数辗转相除出现带余除法4=3×1+1时，巴歇设计了一个转换公式：“a=mb+1，那么ab+l-a是b的最小倍数，比a的倍数多1”，得到3×3=2×4+1。以此为基础，从辗转相除式中，反向消去余数3，4，7，要避免负数。因此，此题属于第二大类。见本书8.3“巴歇的转换公式解法”。
罗尔的解法：辗转相除过程中引入新变量，回代过程中，坚守作为整数的常数、数值及符号保持不变。罗尔的解法构思精巧，详见本书8.4“罗尔的常数不变解法”。
1770年欧拉的不定方程整数解法：利用未知数代换，得到一系列降系数不定方程。最后一个降系数不定方程依赖于余数为0的除法。取得初解后，回代得到通解。这个方法被当前中学教材所采纳，成为不定方程主流解法。
本书18.2.1“降系数不定方程来源”中，所介绍达生、辛格两位学者的降系数不定方程解法，实质上是从1770年欧拉的“形式分数的分母值取1”方案延伸而来的。因此，我们不列作单独的解法。