18.3.1　序列值解法

18.3.1　序列值解法

根据《算术研究》第27节，用序列值解法处理137和60，求出不定方程137x+1=60y的一组特殊解x=7，y=16。再用137x+10=60y的一组特殊解。

高斯表述解的依赖性时，采用同余式：

观察形如ax+t≡u的同余式，这个同余式是依赖于ax≡±1的。

而同余式与不定方程等价：

不定方程ax=by±1与以b为模的同余式ax≡+1等价。

分三步解出阿耶波多不定方程：

（1）取137x+10=60y的两系数137和60，计算序列值（表18.2）。

表18.2　偶序整数对137与60序列值计算

（2）两系数组成的整数对，因自然余数除法序数的奇、偶，分成两大类：奇序整数对和偶序整数对。每大类整数对又因商数损一调节举措，分两个余数分支，组合成四种并列的情况。高斯配置法则说：

当[α，β，γ，…，μ，n]项的个数是偶数时，我们有ax=by+1，当项的个数是奇数时，我们有ax=by-1。

因自然余数1的除法序数4为偶数，项的个数即商的总个数5为奇数，所以选取不定方程137x=60y-1，即137x+1=60y。

因自然余数1序列值是Q4=7，P4=16，所以x=7，y=16是常数1不定方程137x+1=60y的最小正整数解。核算：7×137=959=16×60-1。

（3）不定方程137x+10=60y的常数10是137x+1=60y常数1的10倍。

以x=7，y=16乘10，得x=70，y=160。

再各除以对方系数，得x=70÷60余10，y=160÷137余23，所以x=10，y=23是137x=60y-10的一组最小正整数解。核算：137×10=1370=23×60-10。

可见，x=10，y=23是不定方程137x+10=60y的一组特殊解。