11.3.6　双轨统计

11.3.6　双轨统计

现代数论教科书中，记P，Q两个序列为：P0=1，P1=q1，Pk=qkPk-1+Pk-2，k=2，3，…，n。Q0=0，Q1=1，Qk=qkQk-1+Qk-2，k=2，3，…，n。

高斯统一描述成一个序列：

如果量A，B，C，D，E等以下列形式依赖于α，β，γ，δ等，这样，A=α，B=βA+1，C=γB+A，D=δC+B，E=εD+C等。

至于体现P序列还是Q序列，取决于首项A取首商（q1）还是次商（q2）。我们取后面表11.7“118704和325序列值计算表的起首部分”，形成下表11.3，加以说明。

表11.3　118704和325序列值计算表的起首部分

首项A取首商（q1）。因令P0=1，P1=q1=365这项对应于（q1），记A。其后，代入P0=1后的第二项P2=q2P1+P0=q2P1+1，记B。第二项中出现加1。

再看Q序列。令Q0=0，对应于（q1）这项，又令Q1=1。对应于（q2）的第二项Q2=q2Q1+Q0=q2Q1+0=4，这是（A）。要对应于（q3）第三项：Q2=q3Q2+Q1=q3Q2+1中，出现加1，这是（B）。

P序列与Q序列同时出现，为整数对现象的双轨统计。

公元前104年，落下闳把日作源，算出太初历的日，肯定采用双轨统计。

公元前7年，刘歆把太阳与岁星6136091496年5621200000见，密近简化成1728年1583见，也是用双轨统计。

在计算上元积年时，刘歆首创只用单个Q序列求乘率，解出满去式：多少个669465，满去1728，不满为135？

自此，中国历法家沿用单个Q序列求乘率，求上元积年用了1500多年。